Аксиомы стереометрии. Параллельность прямых и плоскостей

Контрольная работа № 1

« Аксиомы стереометрии. Параллельность прямой и плоскости».

Вариант I

1. Основание AD трапеции ABCD лежит в плоскости α. Через точки В и С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках Е и F соответственно.

а) Каково взаимное положение прямых ЕF и АВ?

б) Чему равен угол между прямыми ЕF и АВ, если АВС = 150°? Поясните.

2. Каково взаимное положение прямых: 1) AD₁ и MN; 2) AD₁ и ВС₁;

3) MN и DC?

3. Дан пространственный четырехугольник ABCD, в котором диагонали АС и BD равны. Середины сторон этого четырехугольника соединены последовательно отрезками.

а) Выполните рисунок к задаче.

б) Докажите, что полученный четырехугольник есть ромб.

4. Построить сечение треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Контрольная работа № 1

« Аксиомы стереометрии. Параллельность прямой и плоскости».

Вариант II

1. Треугольники АВС и АDC лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону АС. Точка Р – середина стороны AD, а K – середина стороны DC.

а) Каково взаимное положение прямых РK и АВ?

б) Чему равен угол между прямыми РK и АВ, если АВС = 40° и ВСА = 80°? Поясните.

2. Каково взаимное положение прямых: 1) A₁D и MN; 2) A₁D и В₁С;

3) MN и А₁В₁?

3. Дан пространственный четырехугольник АВСD, М и

N – середины сторон АВ и ВС соответственно; Е CD, K DA, DE : EC = 1 : 2, DK : KA = 1 : 2.

а) Выполните рисунок к задаче.

б) Докажите, что четырехугольник MNEK есть трапеция

4. Построить сечение треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Ответы

Вариант 1

3б)

середины сторон AB, BC, CD, DA - точки К, L, M, N, лежат в одной плоскости. 
Действительно, 
KN – средняя линия треугольника ABD, KN - параллельна BD, КN=BD/2. 
LM – средняя линия треугольника CBD, LM - параллельна BD, LM=BD/2. 
KN и LM параллельны, точки K, N, L, M лежат в одной плоскости. 
КN=LM=BD/2 
КNLM – параллелограмм (причём всегда, равенство диагоналей не использовали) 
Аналогично, KL=MN=AC/2. 
Т.к. AC=BD, то 
KL=LM=MN=NK. 
Параллелограмм, у которого все стороны равны – ромб

Вариант 2

3б) Проведём диагональ АС. Тогда
1) В тр-ке АВС MN -средняя линия и по теореме о средней линии
MNll АС
2) Тр-к ДКЕ подобен тр-ку ДАС, так как угол Д у них общий и
ДЕ/ ДС = ДК/ДЖА = 1/2
3) Из их подобия следует, что ЕК ll АС
4) Итак MNll АС и ЕК ll АС тогда ЕК ll MN
5) Четырёхугольник MNEK трапеция, так как ЕК ll MN