Графики функций синус и косинус

Построение графиков

тригонометрических функций

y=sinx и y=cosx

Темой нашего урока является «построение графиков тригонометрических функций». Сегодня мы научимся строить очень красивые графики синусах и косинусах, а также познакомимся с их некоторыми свойствами

y

1

x

0

-1

Рассмотрим систему координат. Выберем в качестве единичного отрезка на оси ординат две клетки. Начертите такую систему координат у себя в тетрадях. По оси абсцисс будем откладывать углы в радианах, а по оси ординат значения синуса этих углов.

На оси ординат выбран единичный отрезок равный 2 клеткам, тогда рассчитаем единичный отрезок по оси абсцисс.

т

y

1- две клетки

6 клеток

- три клетки

1

x

0

-1

Расставим на оси абсцисс значения углов в радианах Если 1-две клетки А чему равно приближенно число пи? Сколько это клеток? Расставьте на оси абсцисс значения углов в радианах : пи, два пи, минус пи….Число пи деленное на два это сколько клеток? Расставьте на оси абсцисс пи на два, три пи на

т

y

sin x =0 ?

1

x

0

-1

Давайте расставим нули функции синус. В каких точках функция синус принимает значение равные нулю? Ставим эти точки на оси абсцисс.

т

y

1

x

0

-1

Вычислим значения функции синус в точках пи на два, минус пи на два. Чему равен синус три пи на два , синус минус три пи на два? Расставляем эти значения

т

у

1

х

Для того, чтобы расставить остальные точки , лежащие на графике синуса, обратимся к тригонометрическому кругу. Что такое синус угла альфа? Следуя определению синуса(ордината точки единичной окружности) Повернем точку Р 0 на угол 90 градусов. Проведем через через эту новую точку Р 90 прямую параллельную оси абсцисс. Точка с координатами (пи на два;1) нами уже поставлена на чертеже

у

1

х

Аналогично построим точку Р пи на 6. Повернув единичный радиус на угол пи на 6 , проведем прямую параллельную Ох. Получим точку с координатами (пи на 6;1/2)

y

1

x

0

-1

Поставьте эту точку на своем чертеже

т

у

1

Точно так же можно построить точку с абсциссой 5 пи на 6

y

1

x

0

-1

Поставили на своем чертеже

т

у

1

х

Аналогично можно построить точку абсцисса которой равна пи на три . Для этого единичный радиус повернем на 60 градусов . Проведем павраллельную прямую Ох . Построим эту точку.

y

1

x

0

-1

т

y

График - СИНУСОИДА

1

x

0

-1

Соединяя эти точки плавной линией, построим график. Он называется СИНУСОИДА

т

y

x  (-  ; +  )

1

x

0

-1

Выясним несколько свойств данной функции. Область определения- любые числа. Записываем в тетрадь.

Чему равна область значений. Мы видим по графику, что он расположен в некоторой полосе шириной 2 ед и принимает значения от -1 до 1

т

Функция у=sin x периодическая с периодом

1

x

0

-1

Значения функции синус повторяются через два пи . Это число называют периодом функции. График функции синус получается с помощью параллельных переносов вдоль оси ОХ на 2пи, 4 пи.. Влево и вправо

т

y

1

x

0

-1

Выявим участки на которых функция синус возрастает. Для этого воспользуемся помощью этого джентельмена. Этому участку соответствует отрезок – пи на два, пи на два. Но учитывая, что функция синус периодическая промежутки возрастания запишем в виде.

т

y

1

x

0

-1

Аналогично запишем промежутки убывния

т

Построение графика

функции у= cos x

Теперь построим график функции у=cosx

Вспомним как их графика функции у=х 2 мы получали график функции у=(х+4) 2 с помощью параллельного переноса

y

1

x

0

-1

Следуя формулам приведения чему равен синус х + пи на два ?

поэтому график косинуса получается из графика синус параллельным переносом на пи на два влево

т

y

График - КОСИНУСОИДА

1

x

0

-1

Начертите систему координат и отметьте на ней единичные отрезки и значения углов в радианах. Расставьте нули функции косинус. Точки в которых косинус равен 1. Точки в которых косинус равен минус 1. Соедините все эти точки плавной линией. График функции также называется синусоида.

т

Функция у=cos x периодическая с периодом

1

0

-1

Эта функция также периодическая с периодом два пи

т

y

1

x

- 1

Запишем некоторые свойства функции у= cosx

y

1

x

- 1

y

1

x

- 1

Давайте сравним два графика. Нули функций, график синуса на отрезке от нуля до пи на два возрастает, график косинуса убывает

Грфик синуса симметричен относительно нуля. Почему?

График косинуса симметричен относительно Оу. Почему?

График функции y =sin x симметричен относительно нуля

График функции y =cos x симметричен относительно Оу

у

1

0

х

-1

у

1

0

х

Далее продолжим работу на бланках. Данные чертежи дополните изображением осей так, чтобы получились графики функций: синус х и косинус х. Начнем построение с оси абсцисс. Как провести ось ординат, чтоб получился график синуса. Мы помним, что график синус х проходит через 0 и на отрезке от нуля до пи на два является возрастающей. Проведем ось ординат и расставим единичные отрезки.

Аналогично поступаем на втором чертеже. Учащиеся сами должны провести необходимые рассуждения. Осуществляем проверку после выполненной работы.

-1

Давайте еще раз обратимся к функции у=х 2 и вспомним с помощью какого преобразования можно получить график у=-х 2.

у

1

0

х

-1

у

1

0

х

На третьем чертеже достроим оси координат так, чтобы получился график функции у=-sinx

-1

у

1

х

-1

На чертеже дан фрагмент графика функции у =cos x на

Постройте фрагмент графика этой же функции на

Вспомните как на системе координат расположен график функции у=cosx, учитывая, что эта функция четная

у

1

х

-1

На чертеже дан фрагмент графика функции у =sin x на

Постройте фрагмент графика этой же функции на

Вспомните как на системе координат расположен график функции у=sinx, учитывая, что эта функция нечетная

С помощью графика функции у =sin x выясните:

сколько решений имеет уравнение

1

0

-1

Проведем прямую у=2. В скольких точках она пересечет график?

т

С помощью графика функции у =sin x выясните:

сколько решений имеет уравнение

на отрезке

1

0

-1

Проведем прямую у=0,5 и отметим заданный отрезок. Отметим точки пресечения прямой и графика функции синус. Сколько решений это уравнение имеет на заданном отрезке.

т

Движение по синусоиде

Подведем итоги урока. Сегодня вы должны были научиться строить графики функций синус х и косинус х. Как называются графики. Какова область определения этих функций. Множество значений. Что можно сказать о периодичности данных функций.

Данный график часто используется в жизни . В частности есть даже такое выражение движение по синусоиде.

Синусоиду можно встретить в природе

В строительстве

На экране физических приборов.

Научись встречать беду не плача: Горький миг - не зрелище для всех.

Знай: душа растет при неудачах

И слабеет, если скор успех.

Мудрость обретают в трудном споре.

Предначертан путь нелегкий твой Синусоидой радости и горя,

А не верх взмывающей кривой .

И закончим наш урок стихами Е Долматовского

Домашнее задание :

Закончить работу на бланке.

Задание № 1 (чертеж 4)

Задание № 3

Задание № 4