Исследовательская работа «Возведение двучлена в n-ю степень, треугольник Паскаля»

12

Министерство образования и науки Республики Дагестан
Республиканский конкурс исследовательских работ и проектов учащихся

общеобразовательных организаций и воспитанников дошкольных образовательных организаций Республики Дагестан

«Науки юношей питают»

Направление исследовательской работы «Наука»

«Возведение двучлена в n-ю степень, треугольник Паскаля»

Выполнил Абдурашидова Марьям Ахмедовна

Ученица 8 «б» класса

МКОУ СОШ № 9 г. Кизляра РД

Руководитель: Исинова Адият Агаховна

Учитель математики

высшей категории

МКОУ СОШ №9 г. Кизляра РД

Тел.: 8-988-779-09-88

2019 год

Содержание

Введение……………………………………………………………………………..3

Основная часть………………………………………………………………..……4

Глава 1 История возникновения формул сокращенного умножения………5

Глава 2 Формулы школьного курса математики………………………….…..6

Глава 3 Возведение двучлена в n-ю степень…………………………………....7

Глава 4 Некоторые замечательные свойства треугольника Паскаля……...8

Глава 5 Алгоритм возведения двучлена в n-ю степень………………….…..12

Заключение…………………………………………………………………...……14

Список литературы…………………………………………………………….…15

Введение

Формулы сокращенного умножения, как нам известно, упрощают ряд вычислений. Лично меня заинтересовало то, что нельзя ли возвести двучлен в n-ю степень.

Актуальность моей работы заключается в применении формул сокращенного умножения и ее приложений в различных областях науки и сферы. Довольно часто имеют дело с формулами сокращенного умножения: ученые­ - физики, химии, биологи, конструкторы-проектировщики, диспетчеры и т п. Исследовательская работа имеет социальную и личную значимость в том плане, что важно овладеть как основными, так и нетрадиционными формами и приемами применения формул сокращенного умножения. При упрощении и вычислении значений выражений, решении уравнений, в доказательстве тождеств также находит широкое применение формулы сокращенного умножения. А также овладеть возможностью ориентироваться в проблемных ситуациях.

Объект исследования: область математики - формулы сокращенного исследования.

Цель исследования проявляется в рассмотрении вопроса о существовании формул сокращенного умножения не рассматриваемых в школьном курсе математики, изучении некоторых замечательных свойства треугольника Паскаля.

 В соответствии с целью в работе были поставлены следующие задачи:

1. Собрать сведения из истории математики о формулах сокращенного умножения.

1. Изучить способы возведения в  n – ую степень

алгебраической суммы двух слагаемых.

1. Изучить литературу по теме «Треугольник Паскаля»;

2. Сформулировать вывод и итоги исследования;

3. Создание иллюстративного компьютерного материала по треугольникам;

Основная часть.

«Скажи мне, и я забуду.

Покажи мне, и я запомню.

Дай мне действовать самому, и я научусь».

(Конфуций)

Данную тему я выбрала, потому что была очень увлечена тем, что хотела продолжить формулы сокращенного умножения для степеней выше трех и еще рассмотреть треугольник Паскаля, с которым нас учитель вкратце ознакомила. Для этого я с начала изучила историю возникновения формул сокращенного умножения и начала возводить двучлен в степень начиная с нулевой. Также рассмотрела геометрическую интерпретацию формул сокращенного умножения.

Глава 1. История возникновения формул сокращенного умножения

Слово «алгебра» возникло после появления трактата « Китаб аль-джебр валь-мукабала» математика и астронома из г. Хивы Мухаммеда бен Муса аль-Хорезми (787-ок 850).Термин «аль-джебр», взятый из названия этой книги, в дальнейшем стал употребляться как «алгебра».

Некоторые правила сокращенного умножения были известны еще около 4 тыс. лет тому назад. Их знали вавилоняне и другие народы древности. Тогда они формулировались словесно или геометрически. У древних греков величины обозначались не числами или буквами, а отрезками прямых. Они говорили не «а²», а «квадрат на отрезке а», не «ав», а «прямоугольник, содержащийся между отрезками а и в». Например, тождество (а+в)² =а²⁺2ав+ в² во второй книге «начал» Евклида (III в. До н. э.) формулировалась так: «если прямая линия (имеется в виду отрезок) как либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключенным между отрезками». Доказательство опиралось на геометрические соображения. В дальнейшем я приведу пример такого доказательства.

Первым ученым, который отказался от геометрических способов выражения и перешел к алгебраическим уравнениям, был древнегреческий ученый-математик, живший в III веке до н. э. Диофант Александрийский. В своей книге «Арифметика» Диофант формулы квадрата суммы, квадрата разности и разности квадратов рассматривал уже с арифметической точки зрения. Ну а современную символику алгебраические тождества получили благодаря двум математикам, а именно Виету и Декарту(16 век).

На современном уровне развития математики данные формулы были обоснованы Исааком Ньютоном. При небольших значениях n коэффициенты можно найти из треугольника Паскаля. Блез Паскаль триста пятьдесят лет назад придумал специальный инструмент для определения этих самых коэффициентов, который впоследствии назвали  «треугольник Паскаля».

Глава 2. Формулы школьного курса математики

На уроке математики я познакомилась с формулами сокращенного умножения, которые знаю наизусть. Все они доказываются раскрытием скобок через умножение многочленов и приведением подобных слагаемых.

Разность квадратов:

(a +b) (a – b) = a² - b²                 (1)

Квадрат суммы и квадрат разности:

(a + b)² = a² + 2ab +b²                 (2)

(a – b)² = a² - 2ab + b²                 (3)

Сумма и разность кубов:                                                                            

(a + b) (a² - ab + b²) = a³ +b³        (4)

(a – b) (a² + ab + b²) = a³ - b³        (5)

Куб суммы и куб разности:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³     (6)

(a –b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³        (7)

Глава 3. Возведение двучлена в n-ю степень

Дальше меня заинтересовало: как возвести сумму двух слагаемых в более высокую степень, например в четвертую, пятую или шестую. И я решила поэкспериментировать.

Для начала я решила рассмотреть куб суммы двух слагаемых, для чего расписала его в виде произведения суммы двух слагаемых на квадрат тех же слагаемых: (a+b)³=(a+b)²(a+b)=a³+3a²b+3ab²+b³

Потом поработала с четвертой степенью двух слагаемых, представила ее  как результат произведения квадратов двух слагаемых и получила: (a+b)⁴=(a+b)²(a+b)²=(a²+2ab+b²)(a²+2ab+b²)=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

Аналогичным способом возвела в пятую степень сумму двух слагаемых:

(a+b)⁵=(a+b)²(a+b)³=(a²+2ab+b²)(a³+3a²b+3ab²+b³)=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³++5ab⁴+b⁵

Попробовала расписать  шестую  степень как произведение квадрата и четвертой степени суммы двух слагаемых: (a+b)⁶=(a+b)²(a+b)⁴=(a²+2ab+b²)(a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴)=a⁶+6a⁵b+15a⁴b²++20a³b³+15a²b⁴+6ab⁵+b⁶

Затем  седьмую степень представила как произведение куба суммы и четвертой степени суммы:(a+b)⁷=(a+b)³(a+b)⁴=(a³+3a²b+3ab²+b³) *(a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴)=a⁷+7a⁶b+21a⁵b²+35a⁴b³+35a³b⁴+21a²b⁵+7ab⁶+b⁷

Надо  заметить, что данные преобразования можно было производить и другим способом.  Например, сумму двух слагаемых возвести в шестую степень, как произведение кубов тех же самых слагаемых.

Особенно меня удивило то, что все коэффициенты (их я выделила жирным шрифтом), полученные в результате умножения, были симметрическими. Оказалось, что это неспроста, данная закономерность среди коэффициентов многочлена называется «Треугольник Паскаля» по имени его автора

Глава 4. Некоторые замечательные свойства треугольника Паскаля

Но кроме закономерности среди коэффициентов прослеживается так же замечательная закономерность и среди степеней получившегося многочлена. Оказывается степени входящих одночленов образуются следующим образом: степень первого слагаемого, начиная с большей,  с каждым разом уменьшается на единицу, а степень второго слагаемого наоборот увеличивается от нулевой до наибольшей.

Строится «Треугольник Паскаля»  следующим образом. В вершине треугольника пишем 1. Единица соответствует выражению поскольку любое число, возведённое в нулевую степень, даёт единицу. Достраивая треугольник, ниже пишем ещё по единице. Это коэффициенты разложения того же двучлена, возведённого в первую степень: Идём дальше. Стороны треугольника образуют единицы, а между ними — сумма двух единичек, находящихся сверху, то есть 2. Это и есть коэффициенты трёхчлена «квадрат суммы»:

Следующий ряд, как и предыдущий, начинается и заканчивается единицами, а между ними — суммы цифр, находящихся сверху: 1, 3, 3, 1. Мы получили коэффициенты разложения «куба суммы». Ряд коэффициентов двучлена четвёртой степени составят 1, 4, 6, 4, 1 и так далее.

 Номер             Строки

1.                         1

2.                        1 1

3.                      1 2 1

4.                     1 3 3 1

5.                   1 4 6 4 1

6.                1 5 10 10 5 1

7.             1 6 15 20 15 6 1

8.            1 7 21 35 35 21 7 1

Б лез Паскаль – французский математик

Блез Паскаль (19 июня 1623, Клермон-Ферран, — 19 августа 1662, Париж) — французский математик, физик, литератор и философ.

Паскаль был первоклассным математиком. Он помог создать два крупных новых направления математических исследований. В возрасте шестнадцати лет написал замечательный трактат о предмете проективной геометрии и в 1654 году переписывался с Пьером де Ферма по теории вероятностей, что впоследствии оказало принципиальное влияние на развитие современной экономики.

Изучая разновидности треугольников, я выяснила, что треугольник Паскаля - арифметический треугольник, назван в честь Блеза Паскаля. В действительности, треугольник Паскаля был известен задолго до 1653 года - даты выхода "Трактата об арифметическом треугольнике". Так, этот треугольник воспроизведен на титульном листе учебника арифметики, написанном в начале XVI Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета. Изображен треугольник и на иллюстрации в книге одного китайского математика, выпущенной в 1303 году. Омар Хайям, бывший не только философом и поэтом, но и математиком, знал о существовании треугольника около 1100 года, в свою очередь, заимствовав его из более ранних китайских или индийских источников.

Ещё я узнала из книги "Математические новеллы" (М., Мир, 1974) Мартина Гарднера, что "Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике".

Я рассмотрела схему построения треугольника, предложенную Гуго Штейнгаузом в его классическом «Математическом калейдоскопе»: предположим, что вы входите в город как показано на схеме синей стрелкой, и можете двигаться только вперед, точнее, все время выбирая, вперед налево, или вперед направо. Узлы, в которые можно попасть только единственным образом, отмечены зелеными смайликами, точка, в которую можно попасть двумя способами, показана красным смайликом, а тремя, соответственно - розовыми. Это один из вариантов построения треугольника.

Изучая специальную литературу, я узнала, что еще проще объясняют устройство треугольника Паскаля слова: каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Все элементарно, но сколько в этом таится чудес. Если очертить треугольник Паскаля, то получится равнобедренный треугольник. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Треугольник можно продолжать неограниченно. Он обладает симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину. Вдоль диагоналей (насколько у треугольника могут быть диагонали, но не будем придираться, такая терминология встречается в публикациях), параллельных сторонам треугольника (на рисунке отмечены зелеными линиями) выстроены треугольные числа и их обобщения на случай пространств всех размерностей. Треугольные числа в самом обычном и привычном нам виде показывают, сколько касающихся кружков можно расположить в виде треугольника - как классический пример начальная расстановка шаров в бильярде. К одной монетке можно прислонить еще две - итого три - к двум можно приладить еще три - итого шесть.

Если возводить двучлен в n-ю степень используя треугольник Паскаля, получается вот что:

(а+в)⁰=1

(а+в)¹=а+в

(а+в)²= а² +2ав+в²

(а+в)³= а³+3а²в+ 3ав²+в³

(а+в)⁴=а⁴+4а³в+6а²в²+4ав³+в⁴

(а+в)⁵=а⁵+5а⁴в+10а³в²+ 10а²в³+5ав⁴+в⁵

(а+в)⁶=а⁶+6а⁵в+15а⁴в²+ 20а³в³15а²в⁴+6ав⁵+в⁶

Глава 5. Алгоритм возведения двучлена в n-ю степень

1. Выписать в установленном порядке все одночлены которым подобны члены итогового многочлена.

2. Записать треугольник Паскаля для (n+1)-й строки.

3. Записать последовательно в качестве коэффициентов выписанных одночленов числа из (n+1)-й строки треугольника Паскаля.

4. При возведении в степень суммы (а+в)ⁿ поставить перед всеми одночленами знак «плюс».

5. При возведении в степень разности (а-в)ⁿ поставить перед первым одночленом знак «плюс», перед вторым одночленом - знак «минус» и далее чередовать знаки до последнего одночлена.

Применение формул сокращенного умножения.

Вычислить:

а) 199²= (200 - 1)² = 200² - 2 · 200 + 1 = 40000 – 400 + 1 = 39601 Ответ: 39601

б ) √1369 - 2 · 37 · 29 + 841 = √37² - 2 · 37 · 29 -29² = √(37 ­- 29)² = 37 – 29 =8 Ответ: 8

в) 199 · 201 = (200 - 1)·(200 + 1) = 200² – 1² = 40000 – 1 = 39999 Ответ: 39999

г) 72² = (70 + 2)² = 70² + 2 · 70 · 2 + 2² = 4900 + 280 + 4 = 5184 Ответ: 5184

Сократить дробь:

59² - 41² (59 - 41)·(59 + 41) 59 + 41 100 5 5

59² – 2 · 59 · 41 + 41² (59 – 41)² 59 - 41 18 9

д ) 83² + 2 · 83 · 17 + 17² (83 + 17)² 10000 100

100 100 100

Решить уравнение:

(3х + 2 )⁴ – (3х - 4)⁴ = 0

((3х + 2)² - (3х - 4)²)·((3х + 2)² + (3х – 4)²) = 0

а) (3х + 2)² – (3х - 4)² = 0   или   б) (3х + 2)² + (3х – 4)² = 0

((3х + 2) - (3х - 4))·((3х + 2) + (3х - 4)) = 0 очевидно, что уравнение б) – не равно нулю

3х + 2 – 3х + 4 = 0 или 3х + 2 + 3х – 4 = 0

0 = 6 6х = 2

х = 1/3

Возвести в степень

Способ 1 :

(х – 2 )⁴ = (х - 2)² · (х - 2)² = (х² – 4х + 4)(х² – 4х + 4 ) = х⁴ – 4х³ + 4х² – 4х³ + 16х² – 16х + 4х² – 16х + 16 = х⁴ – 8х³ + 24х² – 32х + 16

Способ 2:

(х - 2)⁴ = х⁴ – 8х³ + 24х² – 32х + 16

Возвела двучлен в 4-ю степень обычным способом и по формуле. Разница очевидна.

Возведем двучлен х + 2 в 5-ю степень двумя способами.

Способ 1 : (х + 2)⁵ = (х + 2)²· (х + 2)³ = ( х² + 4х + 4)( х³ + 6х² + 12х +8) = х⁵ + 6х⁴ + 12х³ – 8х² + 4х⁴ + 24х³ + 48х² + 32х + 4х³ + 24х² + 48х + 32 =х⁵ + 5х⁴ + 10х³ +10х²+ 5х + 32.

Способ 2: (х + 2)⁵ = х⁵ + 5х⁴ + 10х³ +10х² +5х + 32

Как видим разница вычислений большая. Сравнивая   способы решения, заключаю, что применяя для нахождения коэффициентов в разложении  треугольник Паскаля,  возведение в любую степень решается рациональнее. Поэтому, если мне придется возводить двучлен в n-ую степень, я буду применять этот способ.

Заключение

Посмотрите на многообразие формул сокращенного умножения. Как, когда, сразу ли появилось такое многообразие? Конечно очень много вопросов. Безусловно, человечество «додумалось» до всего не сразу и в одночасье. Для этого потребовались долгие годы и десятилетия. Но как бы мне хотелось самой внести какой-либо вклад в развитие прекрасной науки математики.

При изучении материала по этой теме, я узнала много нового и интересного. Оказалось, что  формулы сокращенного умножения можно использовать  для рационального вычисления выражений, при упрощении выражений, при решении уравнений, доказательстве тождеств и так далее.

В процессе работы я самостоятельно вывела различные формулы сокращенного умножения, причем некоторые из них доказала несколькими способами, познакомилась с треугольником Паскаля.

 Я прорешала множество интересных задач, которые не встречались на уроке математики. Мне очень нравится предмет математика, я считаю, что те знания, которые я приобрела, готовя эту  работу, пригодятся мне в дальнейшей учебе и подготовке к выпускным экзаменам. Данная тема актуальна, так как математику нельзя представить без формул сокращенного умножения, потому что они  применяются не только в школьном курсе, но и в курсе высшей математики. Созданная мною работа может использоваться другими учащимися и преподавателями математики на своих уроках. Мне понравилось заниматься исследовательской работой.

Список литературы:

1.http://ru.wikipedia.org/wiki/

2.Weisstein, Eric W. Pascal's Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

3. Абачиев С. К. Радужная фрактальность треугольника Паскаля

4.Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Алгебра: учеб. Для 7 кл. общеобразоват. учреждений под ред. С. А. Теляковского. – 17-е изд. –М. : Просвещение, 2014.- 240 с. : ил.- ISBN 978-5-09-019315-3.

5. В. И. Жохов, Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк. Дидактические материалы: алгебра 8 класс; М.: «Просвещение», 2015.

6.Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика ( пособие для поступающих в техникумы): Учеб. Пособие.- М.; Высш. Шк., 1984.-351 с., ил.

7.Мартин Гарднер. Глава 17. Неисчерпаемое очарование треугольника Паскаля // Математические новеллы. — М.: Мир, 1974. — 456 с. 8. Треугольник Паскаля. В. А. Успенский. - 2 - е изд. – М.: Наука, 1979. – 48с.

9.Мордкович А. Г. Алгебра 7 класс. В 2 часа Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. – 13-е изд., испр.- М.: Мнемозина, 2009.- 160 с.: ил. ISBN ISBN 46-01198-9.

10. С. М. Никольский, М. К. Потапов и др. Алгебра 7; М.: «Просвещение», 2008.

11. Фукс Д., Фукс М. Арифметика биномиальных коэффициентов // Квант. — 1970. — № 6. — С. 17-25.

12. Энциклопедия для детей. Т 11. Математика / Глав. ред. М. Аксенова; метод. и отв. ред. В. Володин. – М.: Аванта+,2004. – 688с.

13.portfolio.1september.ru

14.Удивительный треугольник великого француза // Hard'n'Soft № 10 2003