Комплекс олимпиадных задач по геометрии (10 класс, муниципальный уровень)

1. Решите уравнение + =14 .

2. Конус вписан в правильную треугольную пирамиду SABC так, что его вершина совпадает с вершиной S и основание вписано в основание АВС пирамиды. Фигура F представляет собой пирамиду с вынутым из неё конусом. Фигура F пересечена плоскостью α, проходящей через прямую MN, параллельно прямой PS, где точки М и N – середины соответственно сторон АС и ВС основания, а точка Р делит высоту СТ треугольника АВС в отношении СР : РТ = 1 : 2. Найдите площадь сечения фигуры F плоскостью α, если АВ = 2, высота SО пирамиды равна 3.

3. В банке задач имеется 8 задач по теории вероятностей и 4 задачи по математической статистике. Для проведения олимпиады случайным образом выбирается 5 задач, остальные задачи помещаются в резерв. Какова вероятность того, что сумма количества олимпиадных задач по математической статистике и количества резервных задач по теории вероятностей делится на 3?

4. На вершине горы находятся два кратера вулканов. От поселка до вершины нужно идти 3 часа по дороге, а затем—3 часа по тропинке. Первый кратер 1 час извергается, потом 13 часов молчит, потом опять 1 час извергается, и т. д. Второй кратер 1 час извергается, 7 часов молчит, 1 час извергается, и т. д. Во время извержения первого кратера опасно идти и по тропинке, и по дороге, а во время извержения второго опасна только тропинка. Ваня увидел, что ровно в 12 часов оба кратера начали извергаться одновременно. Сможет ли он когда-нибудь подняться на вершину вулкана и вернуться назад, не рискуя жизнью? Если это возможно, укажите, в начале какого часа Ване нужно начать движение?

5. В равнобедренном треугольнике АВС с углом при основании равным 75⁰ проведен отрезок КР, параллельный основанию с концами на боковых сторонах соответственно АВ и ВС. Известно, что радиус окружности, описанной около треугольника АВС, в раза больше радиуса окружности, описанной около четырехугольника АКРС. Докажите, что центр первой из окружностей лежит на второй окружности.

6. Сформулируйте вопросы к учащимся для поиска доказательства, в котором рассуждение строится от требования к условию; по условию данной задачи составьте исследовательскую задачу.