Материал к уроку математики "Базовые задачи по теме «Решение задач в целых числах»"

Эта тема актуальна, так как задачи в целых числах давно включены в КИМы ЕГЭ по математике и оцениваются максимальным количеством баллов, что не маловажно для результата по экзамену. Также задачи такого типа встречаются на олимпиадах разного уровня. Но, к сожалению, школьная математика явно не предусматривает обучение решению задач в целых числах. Это порождает так называемые пробелы и "дырки" в знаниях учеников по математике. Так как мы заинтересованы в получении наиболее высокого балла на экзамене, то нам необходимо систематизировать уже имеющиеся представления по данной теме, пополнить «багаж» знаний детей теоремами и задачами, которые мы не изучали на уроках математики, но они необходимые для решения подобных задач. Также изучить и разобрать базовые задачи (опорные задачи) в целых числах и на их основе научиться решать более сложные задачи.

Проблема

На уроках математики не отводится должного внимания решению задач в целых числах, тем не менее, задания такого типа включены в задания ЕГЭ.

Цель

Овладеть системой знаний и умений при решении задач с целыми числами.

Задачи

1) Описать основные базовые задачи в целых числах;

2) На основе базовых задач решать более сложные задачи в целых числах, разлагая их по базовым задачам;

3) Сформулировать алгоритм решения задач КИМ ЕГЭ типа С₆.

Гипотеза

Углубление изучения исследований по данной теме могут вывести на такой уровень, что можно справиться на экзамене с заданием типа С₆.

Объектом исследования является класс теоретико - числовых задач, решаемых в целых числах, предметом исследования – технология базовых задач в целых числах.

Практическая значимость исследования определяется тем, что решение задач в целых числах в школьной алгебре полезно не только для сдачи ЕГЭ и обучения в вузе, они способствуют развитию ключевых компетентностей. При разборе заданий данной темы каждый раз сталкиваешься с нестандартной ситуацией, в которой необходимо рассматривать различные случаи и понимать, какие именно случаи следует разбирать.

Самостоятельное планирование шагов своих действий требуют довольно тонких логических рассуждений. Для успешного решения таких задач необходимо, прежде всего, умение проводить довольно объемные, логические рассуждения, что приучает к внимательности и аккуратности.

Итак, задачи с целыми числами предполагают не только умение производить какие - то выкладки по задуманным правилам, но также и понимание цели выполняемых действий. Они играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры.

Структура работы определяется последовательностью решения задач исследования. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы.

В первой главе работы я рассмотрела теоретические аспекты, 11 базовых задач:

БЗ1. Деление с остатком.

БЗ2. Задача определения вида числа: простое или составное.

БЗ3. Задача приведения натурального числа к каноническому виду.

БЗ4. Задача нахождения НОК, НОД двух и более чисел.

БЗ5. 1) Задача нахождения числа делителей произвольного натурального числа (прямая задача).

2) Задача нахождения числа по числу его делителей (обратная задача)

БЗ6. Задача нахождения целых решений линейных диофантовых уравнений с двумя неизвестными.

БЗ7. Задача нахождения целых решений квадратных диофантовых уравнений с двумя неизвестными.

БЗ8. Задача нахождения целых решений диофантовых уравнений с двумя и более неизвестными различного вида.

БЗ9. Задача нахождения сумм различных числовых последовательностей.

БЗ10. Задача математического моделирования в виде диофантовых уравнений (неравенств) и их систем.

БЗ11. Решение задачи о принадлежности данного числа данному числовому множеству.

Построенный перечень базовых задач действительно является базисом в пространстве задач темы решение задач в целых числах. Фактически речь идет о проверки справедливости следующего утверждения: решение любой задачи данной темы представимо в виде цепочки последовательно разворачивающихся базовых задач (всех или некоторых), взятых в определенной последовательности.

Во второй главе были проанализированы образцы решении задач в целых числах и решение 8 задач С6 из ЕГЭ.

Например: Найдите все натуральные числа, последняя десятичная цифра которых 0 и которые имеют ровно 15 различных натуральных делителей (включая единицу и само число).

Весь материал – смотрите документ.

Доклад

на тему: Базовые задачи по теме «Решение задач в целых числах».

Эта тема актуальна, так как задачи в целых числах давно включены в КИМы ЕГЭ по математике и оцениваются максимальным количеством баллов, что не маловажно для результата по экзамену. Также задачи такого типа встречаются на олимпиадах разного уровня. Но, к сожалению, школьная математика явно не предусматривает обучение решению задач в целых числах. Это порождает так называемые пробелы и "дырки" в знаниях учеников по математике. Так как мы заинтересованы в получении наиболее высокого балла на экзамене, то нам необходимо систематизировать уже имеющиеся представления по данной теме, пополнить «багаж» знаний детей теоремами и задачами, которые мы не изучали на уроках математики, но они необходимые для решения подобных задач. Также изучить и разобрать базовые задачи (опорные задачи) в целых числах и на их основе научиться решать более сложные задачи.

Проблема

На уроках математики не отводится должного внимания решению задач в целых числах, тем не менее, задания такого типа включены в задания ЕГЭ.

Цель

Овладеть системой знаний и умений при решении задач с целыми числами.

Задачи

1) Описать основные базовые задачи в целых числах;

2) На основе базовых задач решать более сложные задачи в целых числах, разлагая их по базовым задачам;

3) Сформулировать алгоритм решения задач КИМ ЕГЭ типа С₆.

Гипотеза

Углубление изучения исследований по данной теме могут вывести на такой уровень, что можно справиться на экзамене с заданием типа С₆.

Объектом исследования является класс теоретико-числовых задач, решаемых в целых числах, предметом исследования – технология базовых задач в целых числах.

Практическая значимость исследования определяется тем, что решение задач в целых числах в школьной алгебре полезно не только для сдачи ЕГЭ и обучения в вузе, они способствуют развитию ключевых компетентностей. При разборе заданий данной темы каждый раз сталкиваешься с нестандартной ситуацией, в которой необходимо рассматривать различные случаи и понимать, какие именно случаи следует разбирать.

Самостоятельное планирование шагов своих действий требуют довольно тонких логических рассуждений. Для успешного решения таких задач необходимо, прежде всего, умение проводить довольно объемные, логические рассуждения, что приучает к внимательности и аккуратности.

Итак, задачи с целыми числами предполагают не только умение производить какие-то выкладки по задуманным правилам, но также и понимание цели выполняемых действий. Они играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры.

Структура работы определяется последовательностью решения задач исследования. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы.

В первой главе работы я рассмотрела теоретические аспекты, 11 базовых задач:

БЗ1. Деление с остатком.

БЗ2. Задача определения вида числа: простое или составное.

БЗ3. Задача приведения натурального числа к каноническому виду.

БЗ4. Задача нахождения НОК, НОД двух и более чисел.

БЗ5. 1) Задача нахождения числа делителей произвольного натурального числа (прямая задача).

2) Задача нахождения числа по числу его делителей (обратная задача)

БЗ6. Задача нахождения целых решений линейных диофантовых уравнений с двумя неизвестными.

БЗ7. Задача нахождения целых решений квадратных диофантовых уравнений с двумя неизвестными.

БЗ8. Задача нахождения целых решений диофантовых уравнений с двумя и более неизвестными различного вида.

Пример: Существует ли квадратный трехчлен с целыми коэффициентами, дискриминант которого равен 20092007?

Решение: Допустим, что . Решим полученное уравнение в целых числах. - это число при делении на 4 дает остаток 3. Рассуждая по модулю 4, все числа делятся на 4 класса: .

.

.

Квадрат любого числа при делении на 4 имеет остаток 0 или 1, а т.к. число при делении на 4 имеет остаток 3, то оно не может являться точным квадратом . Итак, дискриминант трехчлена с целыми коэффициентами не может равняться числу 20092007.

Ответ: нет. (Использовали БЗ1, БЗ8)

БЗ9. Задача нахождения сумм различных числовых последовательностей.

БЗ10. Задача математического моделирования в виде диофантовых уравнений (неравенств) и их систем.

БЗ11. Решение задачи о принадлежности данного числа данному числовому множеству.

Построенный перечень базовых задач действительно является базисом в пространстве задач темы решение задач в целых числах. Фактически речь идет о проверки справедливости следующего утверждения: решение любой задачи данной темы представимо в виде цепочки последовательно разворачивающихся базовых задач (всех или некоторых), взятых в определенной последовательности.

Во второй главе были проанализированы образцы решении задач в целых числах и решение 8 задач С6 из ЕГЭ.

Например: Найдите все натуральные числа, последняя десятичная цифра которых 0 и которые имеют ровно 15 различных натуральных делителей (включая единицу и само число).

Решение: Пусть искомое число.

Представим его в каноническом виде , тогда его количество делителей равно

1)

=15

Итак, число - имеет ровно 15 делителей, где- простое число. Но не одно из них не может оканчиваться 0.

2)

и

Итак, числа = , = - имеют ровно 15 делителей, где- простое число. По условию число должно оканчиваться 0. и должны равняться 2 и 5.

и

Ответ: 400 и 2500. (Использовали БЗ5 (обратную задачу))

Мы считаем, что все запланированные задачи решены.

В этой работе даны элементы инновационной образовательной технологии в применении к числовой линии школьного курса математики.

Образовательная технология проектирования, построения и применения многоуровневой системы задач (МСЗ) и адекватных им специальных и универсальных учебных действий, содержит несколько этапов, одним из которых является выделение составление перечней базовых задач темы (содержащих в себе основные идеи, теории и методы).

Сформулированные базовые задачи и адекватные им действия (специальные и универсальные) являются фундаментальным ядром выбранного раздела программы. А применяемая для этого технология является средством фундаментализации содержания общего математического образования.

Эта образовательная технология является инструментом проектирования, формирования, а в перспективе и средством измерения степени сформированности специальных и универсальных учебных действий.

Предлагаемая методика сводит решение любых задач, сформулированных в терминах теории чисел, сводить к решению цепочки базовых задач.

Эта методика испытана на задачах С6 КИМ ЕГЭ разных лет.