Методические рекомендации по математике по теме "Тригонометрия"

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИНУСА, КОСИНУСА, ТАНГЕНСА И КОТАНГЕНСА

Отметим на оси х справа от начала координат точку А и проведем через нее окружность с центром в точке О (рис. 1). Радиус ОА будем называть начальным радиусом.

Повернем начальный радиус около точки О на 70⁰ против часовой стрелки. При этом он перейдет в радиус ОВ. Говорят, что угол поворота равен 70⁰. Если повернуть начальный радиус около точки О на 70⁰ по часовой стрелке, то он перейдет в радиус ОС. В этом случае говорят, что угол поворота равен – 70⁰. Углы поворота в 70⁰ и - 70⁰ показаны стрелками на рисунке 64.

Вообще при повороте против часовой стрелки угол поворота считают положительным, а при повороте по часовой стрелке – отрицательным.

Из курса геометрии известно, что мера угла в градусах выражается числом от 0 до 180. Что касается угла поворота, то он может выражаться в градусах каким угодно действительным числом от - ∞ до + ∞. Так, если начальный радиус повернуть против часовой стрелки на 180⁰, а потом еще на 30⁰, то угол поворота будет равен 210⁰. Если начальный радиус сделает полный оборот против часовой стрелки, то угол поворота будет равен 360⁰; если он сделает полтора оборота в том же направлении, то угол поворота будет равен 540⁰ и т. д. На рисунке 2 стрелками показаны углы поворота

405⁰ и – 200⁰.

Рассмотрим радиусы ОА и ОВ (рис. 3). Существуют бесконечно много углов поворота, при которых начальных радиус ОА переходит в радиус ОВ. Так, если АОВ = 130⁰, то соответствующие углы поворота будут равны 130⁰ + 360⁰ n, где n – любое целое число. Например, при n = 0, 1, - 1, 2, - 2 получаем углы поворота 130⁰, 490⁰, - 230⁰, 850⁰, - 590⁰.

Пусть при повороте на угол а начальный радиус ОА переходит в радиус ОВ. Зависимости от того, в какой координатной четверти окажется радиус ОВ, угол а называют углом этой четверти. Так, если 0⁰ < a < 90⁰, то а – угол 1 четверти: если 90⁰ < a < 180⁰, то а – угол 2 четверти: если 180⁰ < a < 270⁰, то а – а угол 3 четверти: если 270⁰ < a < 360⁰, то а – угол 4 четверти. Очевидно, что при прибавлении к углу целого числа оборотов получается угол той же четвери. Например, угол в 430⁰ является углом 1 четверти, так как 430⁰ = 360⁰ + 70⁰ и 0⁰ < 70⁰ < 90⁰; угол в 920⁰ является углом 3 четверти, так как 920⁰ = 360⁰, … ни относятся ни к какой четверти.

В курсе геометрии были определены синус, косинус и тангенс угла а при 0⁰ ≤ а ≤ 180⁰. Теперь мы распространим эти определения на случай произвольного угла а. Кроме того, определим еще котангенс угла а, который обозначают ctg a.

Пусть при повороте около точки О на угол а начальный радиус ОА переходит в радиус ОВ (рис. 4).

Синусом угла а называется отношение ординаты точки В к длине радиуса.

Косинусом угла а называется отношение абсциссы точки В к длине радиуса.

Тангенсом угла а называется отношение ординаты точки В к ее абсциссе.

Котангенсом угла а называется отношение абсциссы точки В к ее ординате.

Весь материал – смотрите документ.