Методическая разработка: “ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ”

25

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЁЖНОЙ ПОЛИТИКИ КРАСНОДАРСКОГО КРАЯ

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Краснодарского края

«Славянский сельскохозяйственный техникум»

.

Методическая разработка:

“ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ”

Славянск-на-Кубани, 2020

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………....3

ГЛАВА 1.ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА………………………….…..5

ГЛАВА 2. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

1. Определение производной………………………………………......7

2.2Геометрический смысл производной…………………....………….8

ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ФУНКЦИИ

3.1 Промежутки монотонности функции……………………..…...…10

3.2 Экстремумы функции………...……………………………………13

3.3 Наибольшее и наименьшее значения функции………….....…….15

3.4 Исследование функции на выпуклость…………………...…..…..16

ГЛАВА 4. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИСПОЛЬЗОВАНИЮ ФУНКЦИИ

4.1 Примеры……………………………………………………….….….20

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………….………………..……..26

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…………..…………………….………….…27

Во всем мне хочется дойти до самой сути,

В работе, в поисках пути, в сердечной смуте.

До сущности протекших дней, до их причины,

до оснований, до корней, до сердцевины.

Борис Пастернак.

ВВЕДЕНИЕ

Изучение свойств функции и построение ее графика являются одним из самых замечательных приложений производной.

При изучении темы «Свойства функций» мы исследовали функцию на монотонность и экстремумы по ее графическому представлению. Этот способ исследования имеет преимущество – наглядность, но имеет и недостатки. Во-первых – на построение графика требуется время, во-вторых – при построении графика функции возможны неточности, в-третьих – исследование функции на ограниченном промежутке области определения не дает полного представления о монотонности функции на всей области определения.

Исследование функции на монотонность и экстремумы с помощью производной позволяет исследовать функцию на всей области определения, дает полное и точное представление о промежутках монотонности и точках экстремума.

Способ исследования функции с помощью производной неоднократно подвергался тщательному анализу. Основная причина состоит в том, что в приложениях математики приходилось иметь дело со все более и более сложными функциями, появляющимися при изучении новых явлений во многих областях науки: физики, химии, экономике, медицине.

При выборе темы я опиралась на познавательный и практический интерес, а так же актуальность этой темы.

Цель: Систематизировать теоретический материал и показать применение производной при исследовании функций.

ГЛАВА 1. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Термин производная ввел великий математик – Ж.Лагранж, он же и ввел современные обозначения производной которые мы рассмотрим позже.

Рассматривали понятие производной в своих работах Лейбниц и Ньютон, применение нашему термину они находили в геометрии и механики соответственно.

Чуть позже мы с вами узнаем, что производная определяется через предел, но существует небольшой парадокс в истории математики. Математики научились считать производную раньше, чем ввели понятие предела и собственно поняли, что же такое производная.

Производная – одно из фундаментальных понятий математики, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Формула производной встречается ещё в 15 веке. Великий итальянский математик И. Тартальи (1499-1557), рассматривая и развивая вопрос - на сколько зависит дальность полёта снаряда от наклона орудия - применяет производную в своих трудах. Понятие производной возникло в XXVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Независимо друг от друга Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц разработали теорию дифференциального исчисления и создали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время. Исаак Ньютон в основном опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной. Г.В. Лейбниц. (1646-1716) пришёл к понятию производной, решая задачу проведения касательной к произвольной линии, объяснив этим ее геометрический смысл. В самом деле для любой функции y=f (x) в системе координат, на ее области определения можно построить график. Если взять точку на оси абсцисс то, соответственно этой точки можно найти точку на графике функции. В этой точке может быть построена касательная, которая образует с положительным направлением оси абсцисс угол α, такой, что

Но это не говорит о том, что до них эти вопросы не изучались. Задолго до этого Архимед (287 до н.э. - 212 до н. э) не только решил задачу на построение касательной к такой сложной кривой, как спираль, применяя при этом предельные переходы, но и сумел найти максимум функции.

Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь (1661-1704), Бернулли (1744-1807), Лагранж (1736-1813), Гаусс (1777-1855), Коши (1789-1857). Необходимо сказать, что ни Ньютон ни Лагранж не дали четкого определения производной. Впервые определение производной было сформулировано Коши, и именно это определение стало общепринятым и в настоящее время используется почти во всех курсах анализа. В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XVIII в. Известный учёный Галилео Галилей посвящает целый трактат роли производной в математике

ГЛАВА 2. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

2.1 Определение производной

Пусть функция y=f(x) определена в точках x₀ и x₁. Разность x₁−x₀ называют приращением аргумента (при переходе от точки x₀ к точке x₁), а разность f(x₁)-f(x₀) называют приращением функции.

Определение1: Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента (рис.1), когда приращение аргумента стремится к нулю.

Рис.1

Приращение аргумента обозначают Δx (читают: дельта икс; Δ — прописная буква греческого алфавита "дельта"; соответствующая строчная буква пишется так: δ). Приращение функции обозначают Δy или Δf.

Итак, x₁-x₀=Δx, значит, x₁=x₀+Δx.

f(x₁)-f(x₀)=Δy, значит, 

Δy=f(x₀+Δx)-f(x₀).

Если функция f(x) имеет производную в точке х, то эта функция называется дифференцируемой в этой точке. Если функция f(x) имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то эта функция дифференцируема на этом промежутке. Операция нахождения производной называется дифференцированием

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости

Теорема 1. Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x₀, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она имела конечную производную.

 Следствие. Функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке.

Если функция f ' (x) дифференцируема, то её производная обозначается символом y'' =f '' (x) и называется второй производной функции f(x) или производной функции f(x) второго порядка.

2.2 Геометрический смысл производной

рис.2

В координатной плоскости хОу рассмотрим график функции y=f (x) (рис. 2). Зафиксируем точку М(х₀; f (x₀)). Придадим абсциссе х₀ приращение Δх. Мы получим новую абсциссу х₀+Δх. Это абсцисса точки N, а ордината будет равна f (х₀+Δх). Изменение абсциссы повлекло за собой изменение ординаты. Это изменение называют приращение функции и обозначают Δy.

Δy=f (х₀+Δх) — f (x₀).  Через точки M и N проведем секущую MN, которая образует угол φ с положительным направлением оси Ох. Определим тангенс угла φ из прямоугольного треугольника MPN.

Пусть Δх стремится к нулю. Тогда секущая MN будет стремиться занять положение касательной МТ, а угол φ станет углом α. Значит, тангенс угла α есть предельное значение тангенса угла φ:

Так как , есть определение производной в точке, тогда

 , где  – угловой коэффициент касательной (1.)

Формула (1.) выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке   равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ФУНКЦИИ

1. Промежутки монотонности функции

Определение 2: Промежутки монотонности функции y = f (x) - это такие интервалы значений аргумента х, при которых функция y = f (x) возрастает либо убывает.

Определение 3: Функция f(x) называется возрастающей в интервале (a,b) , если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f(x) также возрастают, т.е. если f(x2 ) f(x1 ) при x2 x1 .

рис.3

Из этого определения следует, что у возрастающей в интервале (a,b) функции f(x) в любой точке этого интервала приращения Dx и Dy имеют одинаковые знаки. График возрастающей функции показан на (рис.3)

Если из неравенства x₂  x₁ вытекает нестрогое неравенство f (x₂ ) ≥f (x₁ ) , то функция f (x) называется неубывающей в интервале (a, b ). На интервале [ x₀ , x₁ ] она сохраняет постоянное значение C рис.4
Если из неравенства x₂  x₁ вытекает нестрогое неравенство f (x₂ ) ³f (x₁ ) , то функция f (x) называется неубывающей в интервале (a, b ) . На интервале [ x₀ , x₁ ] она сохраняет постоянное значение C
Определение 4: Функция f (x) называется убывающей в интервале ( a, b ) если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f (x) убывают, т.е. если f(x₂ ) ₁ ) при x₂  x₁ .

Из этого определения следует, что у убывающей в интервале (a,b) функции  f (x) в любой точке этого интервала приращения Dx и Dy имеют разные знаки. График убывающей функции показан на (рис.4).

Если из неравенства x₂  x₁ вытекает нестрогое неравенство f(x₂ ) ≤ f(x₁ ) , то функция f (x) называется невозрастающей в интервале ( a, b ) . На интервале [ x₀ , x₁ ] она сохраняет постоянное значение C .

Теорема: Дифференцируемая и возрастающая в интервале (a,b) функция  f(x) имеет во всех точках этого интервала неотрицательную производную.

Теорема: Дифференцируемая и убывающая в интервале ( a, b ) функция

 f (x) имеет во всех точках этого интервала неположительную производную.

Алгоритм исследования функции на монотонность

Для определения промежутков монотонности функции f(x) требуется:

1) указать область определения функции D (f);

2) найти производную функции f `(x) ;

3) Найти стационарные  точки, т.е. точки, где  f'(x) = 0 или f'(x) не существует.
(Производная равна 0 в нулях числителя, производная не существует в нулях знаменателя)

4) Расположить Д(f) и эти точки на координатной прямой и

определить знаки производной на    каждом из интервалов

5) Применить признаки. На интервалах где производная положительная функция возрастает, а где отрицательная - убывает.

6) Записать ответ.

Пример 1:

Исследовать функцию y = x ³ на монотонность на всей числовой прямой.

Решение:

1.) D (f)=(-∞;+ ∞)

2.)Найдем производную заданной функции: y ` =( x <sup>3</sup>) ` =3x²

1. Для любого действительного x: 3 x²=0, x=0

2. + + x

0

1. Функция возрастает, при x=(-∞;+ ∞).

2. Ответ: функция возрастающая.

Пример 2:

Найти промежутки монотонности : f(x)=x³–3x².
Решение:

1.) D (f)=(-∞;+ ∞)

2.) Найдем первую производную функции f′(x)=3x²–6x.

3.) Найдем критические точки по первой производной, решив уравнение 3x²–6x=0; 3x(x-2)=0 ;x = 0, x = 2

4.)Исследуем поведение первой производной в критических точках и на промежутках между ними.

5.)f(0) = 0³ – 3*0² = 0
f(2) = 2³ – 3*2² = -4
Ответ: Функция возрастает при x∈(-∞ ; 0)∪(2; +∞); функция убывает при x∈(0;2);

3.2 Экстремумы функции

Определение (точек экстремума функции):  Пусть х₀ – внутренняя точка из области определения функции f(x). Тогда, если существует такая δ – окрестность ] x₀ - δ, x₀ + δ [ точки х₀ , что для всех х из этой окрестности выполняется неравенство f(x)≤f(x₀ ) (неравенство f(x)≥f(x₀ )), точка х₀ называется точкой максимума (точкой минимума) этой функции.

Точки максимума минимума являются внутренними точками области определения функции.

Теорема Ферма (Необходимый признак существования экстремума дифференцируемой функции.)

Если х₀ есть точка экстремума функции f(x) и в этой точке производная существует, то она равна нулю: f ’(x₀ )=0.

Эта теорема не является достаточным условием существование экстремума дифференцируемой функции: если в некоторой точке х₀ производная обращается в нуль, то из этого еще не следует, что в точке х₀ функция имеет экстремум.

Определение: Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называют критическими точками функции.

Теорема(Достаточное условия существования максимума): Если функция f(x) непрерывна в точке х₀ , f ‘(x)0 на интервале [a, x₀ ] и f ‘(x)₀ , b], то х₀ является точкой максимума функции f(x).

Теорема(Достаточное условия существования минимума):  Если функция f(x) непрерывна в точке х₀ , f ‘(x)₀ ] и f ‘(x)0 на интервале [x₀ , b], то х₀ является точкой минимума функции f(x).

Для отыскания экстремальных точек функции нужно найти ее критические точки и для каждой из них проверить выполнение достаточных условий экстремума.

Алгоритм нахождения максимума и минимума функции

1) Найти Д(f).

2) Найти f'(x).

3) Найти стационарные точки, т.е. точки, где f'(x) = 0 или f'(x) не существует.

4) Расположить Д(f) и эти точки на координатной прямой.

5) Определить знаки производной на каждом из интервалов.

6) Применить признаки.

7) Найти уmax , уmin

8) Записать ответ.

Пример 3:Найти максимум и минимум функции y.

Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая точка перегиба:

В точке   касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки   функция возрастала — и после точки   продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.

Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

3.3 Наибольшие и наименьшие значения функции

Функция f (x) может иметь несколько экстремумов внутри интервала [ a, b ] , причем может оказаться, что какой-нибудь минимум будет больше какого-нибудь максимума. Таким образом, наибольшее значение функции f (x) на интервале [ a, b ] - это наибольший из экстремумов функции внутри этого интервала и наибольшее из значений функции на концах интервала .
Аналогично наименьшее значение функции f (x) на интервале [ a, b ] - это наименьший из экстремумов функции внутри этого интервала и наименьшее из значений функции на концах интервала .

Например функция, изображенная на (рис.5), достигает наибольшего значения f (x) в точке x₂ , наименьшего - в точке x₁ интервала [ x₀ , x₃ ] . На рисунке 5 изображена функция, имеющая бесконечное число минимумов и максимумов.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функций на отрезке

1) Найти Д(f).

2) Найти производную функции f'(x).

3) Найти стационарные точки, т.е. точки, где f'(x) = 0 или f'(x) не существует.

4) Выбрать из найденных точек те, которые принадлежат данному отрезку

5) Вычислить значения функции (не производной!) в этих точках и на концах отрезка.

6) Среди полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее, оно и будет искомым.

7) Записать ответ.

Пример 4. Найдите наименьшее значение функции y = x³ – 18x² + 81x + 23 на отрезке [8; 13].

Решение: действуем по алгоритму нахождения наименьшего значения функции на отрезке:

1. y’ = 3x² – 36x + 81.

2.  y’ = 3x² – 36x + 81 = 0

 x² – 12x + 27 = 0,

 x = 3 и x = 9

1. x = 9 [8; 13].

2. y = x³ – 18x² + 81x + 23 = x(x-9)²+23:

   •  y(8) = 8 · (8-9)²+23 = 31;

   • y(9) = 9 · (9-9)²+23 = 23;

   • y(13) = 13 · (13-9)²+23 = 231.

Ответ: наименьшее 23, наибольшее 231.

3.4 Исследование функции на выпуклость

Кривая y = f(x) в точке x₀ обращена выпуклостью вверх, если существует такая окрестность точки x₀ , что часть кривой, соответствующая этой окрестности, лежит под касательной к этой кривой, проведенной в точке A с абсциссой x₀ (рис. 6 а).

кривая y = f(x) в точке x₀ обращена выпуклостью вниз, если существует такая окрестность точки x₀ , что часть кривой, соответствующая этой окрестности, лежит над касательной к этой кривой, проведенной в точке A с абсциссой x₀  (рис. 6 б).

рис.6(а, б)

Если кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх в интервале (a, b) , то с увеличением аргумента x угловой коэффициент касательной к этой кривой в точке с абсциссой x будет уменьшаться.

В самом деле, пусть абсцисса x₁ точки A меньше абсциссы x₂ точки B (рис. 7). Проведем касательные t₁ и t₂ соответственно в точках A и B к кривой y = f(x) . Пусть a и j - углы наклона касательных t₁ и t₂ . Тогда из рис. 2 видим, что j - внешний угол треугольника ECD , а поэтому он больше угла a. Следовательно tg j  tg a или f '(x₁ ) f '(x₂ ) .
Таким образом мы показали, что если в интервале (a, b) кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх, то с увеличением аргумента x функция y = f '(x) убывает. Поэтому вторая производная f ''(x) функции f(x) , как производная убывающей функции f '(x) , будет отрицательна или равна нулю в интервале (a, b) : f ''(x) ≤0 .

Если кривая y = f(x) обращена выпуклостью вниз, то из рис.8 непосредственно видно, что tg a  tg j т.е. f '(x₂ ) f '(x₁ ) , а поэтому в интервале (a, b) производная f '(x) возрастает. Тогда вторая производная 

f ''(x) функции f (x) , как производная возрастающей в интервале 

(a, b) функции f '(x) , будет положительна или равна нулю:  f ''(x) ≥0 .
И наоборот, если f ''(x) ≤0 в некотором интервале (a, b) ,  то в этом интервале кривая y = f (x) обращена выпуклостью вверх; если f ''(x) ≥0 в интервале (a, b) ,  то в этом интервале кривая обращена выпуклостью вниз.

Точка кривой, в которой кривая меняет направление изгиба, т.е. переходит от выпуклости вверх к выпуклости вниз или наоборот, называется точкой перегиба кривой (рис.9). (В этом определении предполагается, что в точке перехода кривой от выпуклости вверх к выпуклости вниз (или наоборот) имеется единственная касательная).
Теорема : Пусть функция f(x) имеет непрерывную вторую производную

 f ''(x) и пусть A [x₀ ; f(x₀ ) ] - точка перегиба кривой y = f(x) . Тогда 

f ''(x₀ ) = 0 или не существует.
Доказательство. Рассмотрим для определенности случай, когда кривая y = f(x) в точке перегиба A [x₀ ; f(x₀ ) ] переходит от выпуклости вверх в выпуклости вниз (рис.4). Тогда при достаточно малом h в интервале

 (x₀ - h, x₀ ) вторая производная f ''(x) будет меньше нуля, а в инетрвале (x₀ , x₀ +h) - больше нуля.
Но f ''(x) - функция непрерывная, а потому, переходя от отрицательных значений к положительным, она при x = x₀ обращается в нуль: f ''(x₀ ) = 0 .

На рис.10 изображен график функции  . Хотя при x₀ = 0 имеется касательная и точка перегиба, все же вторая производная f ''(x) не равна нулю, она даже не существует в этой точке. В самом деле, имеем 

Итак, f ''(0) не существует. Но тем не менее точка O(0; 0) является точкой перегиба, так как при x 0 и кривая выпукла вниз, а при x 0 f ''(x)  и кривая выпукла вверх.
Таким образом в случае непрерывности второй производной f ''(x) обращение в нуль или не существование ее в какой-нибудь точки кривой