Монотонные функции
1. Логическая функция F задаётся выражением:
(¬x ∧ y ∧ z) ∨ (¬x ∧ ¬y ∧ z) ∨ (¬x ∧ ¬y ∧ ¬z).
На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F истинна.
Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.
Перем. 1 | Перем. 2 | Перем. 3 | Функция |
??? | ??? | ??? | F |
0 | 0 | 0 | 1 |
1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 0 | 1 | 1 |
В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала – буква, соответствующая первому столбцу, затем – буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.) Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.
Пример. Пусть задано выражение x → y, зависящее от двух переменных x и y, и таблица истинности:
Перем. 1 | Перем. 2 | Функция |
??? | ??? | F |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 |
Тогда 1-му столбцу соответствует переменная y, а 2-му столбцу соответствует переменная x. В ответе нужно написать: yx.
Решение.
Рассмотрим данное выражение. Оно равно единице в трех случаях: (¬x ∧ y ∧ z) = 1, (¬x ∧ ¬y ∧ z) = 1 или (¬x ∧ ¬y ∧ ¬z) = 1. Каждое из этих равенств выполняется только при одном наборе переменных. Первое: x = 0, y = 1, z = 1. Второе: x = 0, y = 0, z = 1. Третье: x = y = z = 0. Так, из второго значения функции видим, что переменная 1 — z. А из третьего, что переменная 2 — x, тогда переменная 3 — y.
Ответ: zxy.
2. Логическая функция F задаётся выражением:
(¬x ∧ y ∧ z) ∨ (¬x ∧ y ∧ ¬z) ∨ (¬x ∧ ¬y ∧ ¬z).
На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F истинна.
Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.
Перем. 1 | Перем. 2 | Перем. 3 | Функция |
??? | ??? | ??? | F |
0 | 0 | 0 | 1 |
1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 0 | 1 | 1 |
В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала – буква, соответствующая первому столбцу, затем – буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.) Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.
Пример. Пусть задано выражение x → y, зависящее от двух переменных x и y, и таблица истинности:
Перем. 1 | Перем. 2 | Функция |
??? | ??? | F |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 |
Тогда 1-му столбцу соответствует переменная y, а 2-му столбцу соответствует переменная x. В ответе нужно написать: yx.
Решение.
Рассмотрим данное выражение. Оно равно единице в трех случаях: (¬x ∧ y ∧ z) = 1, (¬x ∧ y ∧ ¬z) = 1 или (¬x ∧ ¬y ∧ ¬z) = 1. Каждое из этих равенств выполняется только при одном наборе переменных. Первое: x = 0, y = 1, z = 1. Второе: x = 0, y = 1, z = 0. Третье: x = y = z = 0. Так, из второго значения функции видим, что переменная 1 — y. А из третьего, что переменная 2 — x, тогда переменная 3 — z.
Ответ: yxz.
3. Логическая функция F задаётся выражением:
(¬x ∧ z) ∨ (¬x ∧ ¬y ∧ ¬z).
На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F истинна. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.
Перем. 1 | Перем. 2 | Перем. 3 | Функция |
??? | ??? | ??? | F |
0 | 0 | 0 | 1 |
0 | 0 | 1 | 1 |
0 | 1 | 1 | 1 |
В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала буква, соответствующая первому столбцу, затем буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.) Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.
Пример. Пусть задано выражение x → y, зависящее от двух переменных x и y, и таблица истинности:
Перем. 1 | Перем. 2 | Функция |
??? | ??? | F |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 |
Тогда 1-му столбцу соответствует переменная y, а 2-му столбцу соответствует переменная x. В ответе нужно написать: yx.
Решение.
Выражение равно 1, если хотя бы одна из двух скобок равна 1. Первая скобка равна 1 при наборах переменных (0, 0, 1) и (0, 1, 1). Вторая скобка только при (0, 0, 0). Из третьего набора выводов не сделать, из первых же двух понятно, что переменные идут в порядке x, y, z (x оба раза 0, в первом столбце оба раза 0; z оба раза 1, третий столбец оба раза тоже 1).
Ответ: xyz.
4. Логическая функция F задаётся выражением:
(¬x ∧ y ∧ z) ∨ (¬x ∧ ¬z).
На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F истинна. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.
Перем. 1 | Перем. 2 | Перем. 3 | Функция |
??? | ??? | ??? | F |
0 | 0 | 0 | 1 |
1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 |
В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала буква, соответствующая первому столбцу, затем буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.) Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.
Пример. Пусть задано выражение x → y, зависящее от двух переменных x и y, и таблица истинности:
Перем. 1 | Перем. 2 | Функция |
??? | ??? | F |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 |
Тогда 1-му столбцу соответствует переменная y, а 2-му столбцу соответствует переменная x. В ответе нужно написать: yx.
Решение.
Выражение равняется 1, если хотя бы одна из двух скобок равна 1. Первая скобка принимает 1 при наборе значений переменных (0, 1, 1). Вторая принимает 1 при двух наборах значений переменных: (0, 0, 0), (0, 1, 0). Из набора с нулями выводов не сделать, в остальных двух x оба раза 0, y оба раза 1. Находим в таблице такие столбцы. Получаем, что нужный порядок: y, z, x.
5. Логическая функция F задаётся выражением:
(x ∧ ¬y) ∨ (x ∧ z).
На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функцииF, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F истинна.
Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.
Перем. 1 | Перем. 2 | Перем. 3 | Функция |
??? | ??? | ??? | F |
0 | 1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 |
В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала буква, соответствующая первому столбцу, затем буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.) Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.
Пример. Пусть задано выражение x → y, зависящее от двух переменных x и y, и таблица истинности:
Перем. 1 | Перем. 2 | Функция |
??? | ??? | F |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 |
Тогда 1-му столбцу соответствует переменная y, а 2-му столбцу соответствует переменная x. В ответе нужно написать: yx.
Решение.
Выражение равняется 1, если хотя бы одна из двух скобок равна 1. Первая скобка принимает 1 при двух наборах значений переменных: (1, 0, 0), (1, 0, 1). Вторая принимает 1 также при двух наборах значений переменных: (1, 0, 1), (1, 1, 1). Два набора из четырёх совпало, итого имеем три набора: (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1). Из набора с единицами выводов о порядке переменных не сделать, в остальных двух x оба раза 1, y оба раза 0. Находим в таблице такие столбцы. Получаем, что нужный порядок: y, x, z.
6. Логическая функция F задаётся выражением:
(¬x ∧ y) ∨ (y ∧ z).
На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функцииF, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F истинна.
Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.
Перем. 1 | Перем. 2 | Перем. 3 | Функция |
??? | ??? | ??? | F |
0 | 1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 |
В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала буква, соответствующая первому столбцу, затем буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.) Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.
Пример. Пусть задано выражение x → y, зависящее от двух переменных x и y, и таблица истинности:
Перем. 1 | Перем. 2 | Функция |
??? | ??? | F |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 |
Тогда 1-му столбцу соответствует переменная y, а 2-му столбцу соответствует переменная x. В ответе нужно написать: yx.
Решение.
Выражение равняется 1, если хотя бы одна из двух скобок равна 1. Первая скобка принимает 1 при двух наборах значений переменных: (0, 1, 0), (0, 1, 1). Вторая принимает 1 также при двух наборах значений переменных: (0, 1, 1), (1, 1, 1). Два набора из четырёх совпало, итого имеем три набора: (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 1). Из набора с единицами выводов о порядке переменных не сделать, в остальных двух y оба раза 1, x оба раза 0. Находим в таблице такие столбцы. Получаем, что нужный порядок: x, y, z.
7. Логическая функция F задаётся выражением
(x ∧ y ∧¬z) ∨ (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧¬y ∧¬z).
На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F истинна. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.
Перем. 1 | Перем. 2 | Перем. 3 | Функция |
??? | ??? | ??? | F |
0 | 1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 |
В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала – буква, соответствующая первому столбцу; затем — буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.) Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.
Пример. Если бы функция была задана выражением ¬x ∨ y, зависящим от двух переменных: x и y, и был приведён фрагмент её таблицы истинности, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F истинна.
Перем. 1 | Перем. 2 | Функция |
??? | ??? | F |
0 | 0 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 |
Тогда первому столбцу соответствовала бы переменная y, а второму столбцу — переменная x. В ответе следовало бы написать: yx.
Решение.
Рассмотрим данное выражение. Оно равно единице в трех случаях: (x ∧ y ∧¬z)= 1, (x ∧ y ∧ z) = 1 или (x ∧¬y ∧¬z) = 1. Каждое из этих равенств выполняется только при одном наборе переменных. Первое: x = 1, y = 1, z = 0. Второе: x = 1, y = 1, z = 1. Третье: x = 1, y = 0, z = 0. Так, из второго значения функции видим, что переменная 3 — z. А из первого, что переменная 2 — x, тогда переменная 1 — y.
Ответ: yxz.
8. Логическая функция F задаётся выражением
¬y ∨ (x ∧ ¬z).
На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F истинна. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.
Перем. 1 | Перем. 2 | Перем. 3 | Функция |
??? | ??? | ??? | F |
0 | 0 | 0 | 1 |
0 | 0 | 1 | 1 |
0 | 1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 | 1 |
В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала – буква, соответствующая первому столбцу; затем — буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.) Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.
Пример. Пусть задано выражение x → y, зависящее от двух переменных x и y, и таблица истинности:
Перем. 1 | Перем. 2 | Функция |
??? | ??? | F |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 |
Тогда первому столбцу соответствует переменная y, а второму столбцу соответствует переменная x. В ответе нужно написать: yx.
Решение.
Рассмотрим данное выражение. Оно равно единице в двух случаях: ¬y = 1; (x ∧ ¬z) = 1. Первое равенство выполняется при y = 0. Второе равенство выполняется при x = 1, z = 0.
Из первых четырёх строк таблицы ясно, что переменная 1 — y. Тогда из пятой строки таблицы можно заключить, что переменная 3 — x, а переменная 2 — z.
Ответ: yzx.
9. Логическая функция F задаётся выражением
¬z ∨ (¬x ∧ y).
На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F истинна. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.
Перем. 1 | Перем. 2 | Перем. 3 | Функция |
??? | ??? | ??? | F |
0 | 0 | 0 | 1 |
0 | 0 | 1 | 1 |
0 | 1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 | 1 |
В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала – буква, соответствующая первому столбцу; затем — буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.) Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.
Пример. Пусть задано выражение x → y, зависящее от двух переменных x и y, и таблица истинности:
Перем. 1 | Перем. 2 | Функция |
??? | ??? | F |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 |
Тогда первому столбцу соответствует переменная y, а второму столбцу соответствует переменная x. В ответе нужно написать: yx.
Решение.
Рассмотрим данное выражение. Оно равно единице в двух случаях: ¬z = 1; ¬x ∧ y = 1. Первое равенство выполняется при z = 0. Второе равенство выполняется при x = 0, y = 1.
Из первых четырёх строк таблицы ясно, что переменная 1 — z. Тогда из пятой строки таблицы можно заключить, что переменная 3 — y, а переменная 2 — x.
Ответ: zxy.
10. Логическая функция F задаётся выражением x ∧ ¬y ∧ (¬z ∨ w). На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F истинна. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных w, x, y, z.
Перем. 1 | Перем. 2 | Перем. 3 | Перем. 4 | Функция |
??? | ??? | ??? | ??? | F |
0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
В ответе напишите буквы w, x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала — буква, соответствующая первому столбцу; затем — буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.) Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.
Пример. Если бы функция была задана выражением ¬x ∨ y, зависящим от двух переменных: x и y, и был приведён фрагмент её таблицы истинности, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F истинна.
Перем. 1 | Перем. 2 | Функция |
??? | ??? | F |
0 | 0 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 |
Тогда первому столбцу соответствовала бы переменная y, а второму столбцу — переменная x. В ответе следовало бы написать: yx.
Решение.
Рассмотрим данное выражение. Оно равно единице когда одновременно выполнено: x = 1; ¬y = 1; ¬z ∨ w = 1. Первое равенство выполняется при x = 1, второе при y = 0. Из таблицы ясно, что переменная 2 — y, переменная 3 — x.
Третье равенство выполняется на наборах переменных: z = 0, w = 0; z = 0, w = 1 и z = 1, w = 1. Из сопоставления с таблицей ясно, что переменная 1 — z, переменная 4 — w.
Ответ: zyxw.
11. Логическая функция F задаётся выражением x ∧ ¬y ∧ (¬z ∨ w). На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F истинна. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных w, x, y, z.
Перем. 1 | Перем. 2 | Перем. 3 | Перем. 4 | Функция |
??? | ??? | ??? | ??? | F |
1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
В ответе напишите буквы w, x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала — буква, соответствующая первому столбцу; затем — буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.) Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.
Пример. Если бы функция была задана выражением ¬x ∨ y, зависящим от двух переменных: x и y, и был приведён фрагмент её таблицы истинности, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F истинна.
Перем. 1 | Перем. 2 | Функция |
??? | ??? | F |
0 | 0 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 |
Тогда первому столбцу соответствовала бы переменная y, а второму столбцу — переменная x. В ответе следовало бы написать: yx.
Решение.
Данное выражение — конъюнкция. Из третьей строчки ясно, что переменная 2 — y. Рассмотрим строчку 1, из неё ясно, что переменная 1 — x, иначе выражение будет ложно. Из строчки 2 определяем, что переменная 3 — w, а переменная 4 — z, иначе второе выражение будет ложно.
Ответ: xywz.
12. Логическая функция F задаётся выражением (x → y) ∧ (y → z). На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.
Перем. 1 | Перем. 2 | Перем. 3 | Функция |
??? | ??? | ??? | F |
1 | 1 | 0 | 1 |
1 | 0 | 0 | 1 |
В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала буква, соответствующая первому столбцу, затем – буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.
Пример. Пусть задано выражение x →y , зависящее от двух переменных – x и y, и таблица истинности:
Перем. 1 | Перем. 2 | Функция |
??? | ??? | F |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
Тогда первому столбцу соответствовала бы переменная x, а второму столбцу — переменная y. В ответе следовало бы написать: xy.
Решение.
Раскроем две импликации:
(¬x ∨ y) ∧ (¬y ∨ z)
Поскольку все значения F в таблице равны 1, то можно предположить, что x соответствует 3 столбец, т.к. тогда ¬x будет всегда равен 1. По той же логике z всегда выгодно брать 1 и сопоставить ему 1 столбец.
Ответ: zyx.
13. Логическая функция F задаётся выражением (x → y) ∧ (y → z). На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.
Перем. 1 | Перем. 2 | Перем. 3 | Функция |
??? | ??? | ??? | F |
1 | 1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 | 1 |
В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала буква, соответствующая первому столбцу, затем — буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.
Пример. Пусть задано выражение x →y , зависящее от двух переменных — x и y, и таблица истинности:
Перем. 1 | Перем. 2 | Функция |
??? | ??? | F |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 |
Тогда первому столбцу соответствовала бы переменная y, а второму столбцу — переменная x. В ответе следовало бы написать: yx.
Решение.
Раскроем две импликации:
(¬x ∨ y) ∧ (¬y ∨ z)
Поскольку все значения F в таблице — 1, то можно предположить, что x соответствует 3 столбец, тогда ¬x будет всегда равен 1. По той же логике z всегда выгодно брать 1 и сопоставить ему 2 столбец.
Ответ: yzx.
14. Логическая функция F задаётся выражением:
(x ∧ z) ∨ (x ∧ ¬y ∧ ¬z).
На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F истинна. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.
Перем. 1 | Перем. 2 | Перем. 3 | Функция |
??? | ??? | ??? | F |
0 | 1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 |
В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала буква, соответствующая первому столбцу, затем — буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.
Пример. Пусть задано выражение x →y , зависящее от двух переменных — x и y, и таблица истинности:
Перем. 1 | Перем. 2 | Функция |
??? | ??? | F |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 |
Тогда первому столбцу соответствовала бы переменная y, а второму столбцу — переменная x. В ответе следовало бы написать: yx.
Решение.
(x ∧ z) ∨ (x ∧ ¬y ∧ ¬z).
Заметим, чтобы F всегда было 1 нужно, чтобы x тоже всегда был 1, поскольку он идет в паре с ∧ в обоих случаях.
Если z = 0, то тогда ¬y обязательно должно быть 1, чтобы таблица была справедлива, а если ¬y = 0, то z обязательно должен быть равен 1. На основе этих утверждений сопоставим оставшиеся столбцы.
Ответ: yxz.