Параллельность прямой и плоскости

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
РАЗЛИЧНЫЕ МЕТОДЫ И ФОРМЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ.

Цель: Закрепить понятие параллельности прямой и плоскости; признаки и свойства параллельности прямой и плоскости. Отработать навыки составления «логических цепочек», продолжить развитие умение грамотно оформлять задачи на доказательство. Познакомить с одним из методов доказательств («введение вспомогательного элемента» или дополнительных построение). Развивать пространственное воображение.

План: 1) Устная работа ( с элементами проверки домашнего задания № 25)

1. Блиц-опрос.

2. Решение задачи методом «введения вспомогательного элемента

3. Творческая работа («генеалогическое дерево» (иерархическая структура) теоремы о параллельных прямых в пространстве)

4. Подведение итогов.

ОФОРМЛЕНИЕ ДОСКИ:

1. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.

№ 2

Дано: ­

№ 1

­  ?

Доказательство:

1)

2)

3)

Плакат – творческая работа («генеалогическое дерево»)

Дополнительный вопросы: по № 1

1. Сформулировать утверждение, обратное данному

[ Если прямая параллельна плоскости, то в плоскости существует прямая, параллельная данной прямой]

1. Сколько? ( Множество)

2. Доказать: [Теоремы о параллельных в пространстве]

Сформулировать:

[Через любую точку пространства всегда можно провести прямую, параллельную данной. Одну и только одну]

2 Блиц- опрос:

1. a

   ?

   ?

   || α ; b || α  a || b ? (нет)

1. a

   ?

   || b ; b || α  a || α ? (Да) ( свойство параллельных прямых)

2. α || a ; β ||a  α ∩ β (Нет)

3. a ∩ α; Сколько можно провести прямых , пересекающих а и параллельных плоскости α? (множество)

4. а ∩ α; Сколько можно провести прямых пересекающих α и параллельных прямой а? (множество)

5. Сколько прямых, параллельных данной прямой, можно провести через точку, не лежащей на данной прямой? (одну)

6. Сколько прямых || данной плоскости можно провести через данную точку, не принадлежащей плоскости? (множество)

7. Сколько плоскостей, || данной прямой можно провести через данную точку, не лежащую на этой прямой? (множество)

8. Верно ли? «Прямая, параллельная плоскости, параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости?» (нет)

9. Всегда ли можно построить плоскость, проходящую через данную прямую и параллельную другой данной прямой? (нет)

Над последним вопросом поработать с классом

а) Если прямые пересекаются, то такую плоскость построить нельзя

б ) Если a || b , то любая плоскость, содержащая a и не содержит b, будет ей || .

в) Если a b . Чтобы построить α || b, надо через любую точку прямой а провести прямую с || b . a ∩ с задают плоскость

1 Работа у доски:

№1 Закончить по смыслу логическую цепочку. Сформулировать (устно) полученное утверждение и доказать его

a  α ; a || b ; b  α  a || α

Доказательство:

1) Пусть a α  a ∩ α , так как a  α (по условию)

2) a ∩ α , a || b  b ∩ α

3) b ∩ α , но b  α - противоречье  a || α

Метод доказательства: (от противного)

№2 Из множества условий a  β a || α α ∩ β = b ; b || a собрать все возможные логические цепочки известных нам утверждений и сделать чертеж.

1) a  β , a || α , α ∩ β = b  b || a

(прямая, лежащая в плоскости и параллельная другой плоскости, пересекающей данную, - параллельна линии пересечения плоскостей.

2) a  β , a || b , α ∩ β = b  a || α

Если прямая , лежит в плоскости и пересекающей другой плоскости, параллельна линии пересечения, то она параллельна и другой плоскости.

Дополнительный вопрос: Верно ли будет утверждение

a || α , a || b , α ∩ β = b  a  β (нет)

контраргумент из № 3 (д/з № 25)

№ 3 По данному чертежу составить задачу:

Дано: b || a ; α ∩ β = b ; a  α ; a  β

Доказать: a || α ; a || β

Доказательство:

1) α ∩ β = b  b  α ; b  β ;

2) b || a ; b  α  a || α (признак || прямой и плоскости)

3) b || a ; b  β  a || β признак || прямой и плоскости)

Дополнительный вопрос: Сформулируй утверждение обратное данному.

Метод доказательства: прямой, составлением логической цепочки.

Домашнее задание № 33 п 7 (до теоремы)

Итог: 1) систематизировали имеющиеся знания

2) Расставили акценты на важном.

Логические структуры
в развитии пространственного мышления
при изучении начал стереометрии.

(выступление на городском МО математиков)

К данной теме меня привели 2 момента

1. Сплошной текст в учебнике при доказательстве теорем

2. Отсутствие собственного пространственного воображения

О том, что для упрощения чтения текстов необходимо вводить символьную запись. Уже говорилось и все ее (символику) нещадно эксплуатируют, заменяя слово символом для упрощения записей. Но хотелось бы, чтобы эти символы не только упрощали записи, но и помогали видеть то, что стоит за этим текстом. Поэтому с самого начала изучения аксиом стереометрии, я предлагаю играть в различные логические игры. Чтобы видеть пространство, надо учить логически мыслить.

Игра № 1 Установить соответствие: рисунок, аналитическая запись, текст.

Аа  !α : А α; а  α

1. Из множества рисунков и картинок выбрать все соответствия

2. К рисунку подобрать 2 и 3

3. К записи подобрать рисунок и формулировку

4. К формулам подобрать рисунок и аналитическая запись

Игра № 2 Закончить предложение (в одну строчку)

A, B, C  одной прямой 

а ∩ α=А 

Игра № 3 Подбери начало предложения

 !α : а α; b  α

Игра № 4 a ∩ α = A, B  α . Построить плоскость β, проходящую через a и В
α : A  α; B  α β: a  β ; В  β.

[Для того, чтобы построить, необходимо выяснить взаимное расположение α и β

Если отработать в логической цепочке

1. В

   А  Р

    α ; В  β  α ∩ β = Р ; В  β

2. А ∩ α = А  А  а ; А  α

3. А  а ; а  β  А  β

]

Игра № 5 Придумать самим цепочку в одну строчку. Как можно больше задать условий

 α   А_n  α ;  В_n  α

 а   А_n  а ;  В_n  α А ; В  а ; А  α ; В  α  а ∩ α

Игра № 6 Выводы из аксиом

Например: А ; В  а ; А ; В  α  а  α

Вывод: А  а ; А  α  а  α или а ∩ α

1) А ; В ; С ; D  одной прямой  1) А ; В ; С ; D  α или

2) А ; В ; С  α₁ D  α или

3) А ; В ; D  α₂ С  α₂

Добавим в условие : А ; В ; С  α ; D  α   ! α ; А ; В ; С  α

Игра № 7 Найди ошибку

1. а  α ; b  β

a  β ; b  α

 a и b не лежат в одной плоскости

1. a || α ; b || α  a || b [ или а ∩ b или а скрещив с b ]

2. α || a ; β || a  α || β

3. α || a ; β || a  α β

Игра № 8 Свойства и признаки.

 a || α

a || α 

Игра № 9 a || α b || а α ∩ β= b a  β

Собрать всевозможные цепочки из заданных условий.

Ответ: 1) а  β; а || α ; β ∩ α =b  b || a

2) а  β; а || b ; α ∩ β =b  a || α

3) a || α ; a || b ; α ∩ β =b  а  β (неверно) Нарисуйте контраргумент

Контраргумент

Игра № 10 По данному чертежу составить задачу

Метод доказательства:

1. Прямой с помощью логической цепочки

2. От обратого

3. Дополнительные построения

Дано: a || b ; α ∩ β = b ; a  α ; a  β

Доказать: a || α ; a || β

Доказательство:

1) α ∩ β = b  b  α ; b  β

2) b  α ; a || b  a || α ( признак || прямой и плоскости)

3) b  β ; a || b  a || β

Игра № 10 Алгоритм ( в определении)

П о общей точке a ; b

И меют общую () Не имеют общую ()

И меют одну общую () Имеют более одной общей ()

a ∩ b a = b a || b a  b

a b ; a  b ; a b  a  b

П о принадлежности плоскости a ; b

Л ежит в единой плоскости Не лежит в единой плоскости

a || b a = b a ∩ b a  b