Практико-ориентированные задачи в заданиях ОГЭ

ПРАКТИКО-ОРИЕНТИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ В ЗАДАНИЯХ ОГЭ

Бурцева К.В., учитель математики

МБОУ– лицей № 22

им. А.П. Иванова г. Орла

Проблема организации практико-ориентированного обучения не является абсолютно новой, но тем не менее и сегодня является актуальной, так как современное образование должно ориентировать учащегося к решению тех реальных проблем, с которыми он столкнётся в жизни. Идея формирования у школьников универсальных умений, необходимых для решения жизненных и профессиональных проблем, является одной из ключевых в ФГОС. Так же  решение практико-ориентированных задач, является неотъемлемой частью заданий ОГЭ и ЕГЭ как базового так и профильного уровня.

Под практико-ориентированными задачами будем понимать задачи, материал для составления которых взят из окружающей действительности и ориентирован на формирование практических навыков учащихся.

Достижение требований федерального стандарта предусматривает ориентацию образовательных систем на развитие у учащихся качеств, необходимых для жизни в современном обществе и осуществлению практического взаимодействия с объектами природы, производства, быта.

Включение практико-ориентированных задач в отдельные разделы школьного курса математики – это одно из важных направлений в развитии школьного математического образования.

В настоящее время школа пока ещё продолжает ориентироваться на обучение, выпуская в жизнь человека обученного, но тогда как сегодняшнее, информационное общество запрашивает человека обучающегося, способного самостоятельно учиться и готового к реальным действиям и принятию решений. Это определяет значимость математики в формировании у учащихся умений решать задачи, возникающие в процессе практической деятельности человека. В этом и заключается актуальность рассматриваемой темы. 

Цель исследования: разработать задания с практико-ориентированным содержанием для повышения уровня результатов во время сдачи ОГЭ по математике.

Объект исследования – практико-ориентированные задачи в заданиях ОГЭ.

Предмет исследования – разновидность практико-ориентированных задач во всех модулях заданий ОГЭ.

В соответствии с проблемой, целью, объектом и предметом исследования выдвинута следующая гипотеза: если при обучении учащихся математике целенаправленно и систематически разбирать практико-ориентированные задачи из заданий ОГЭ, то повысится уровень качества знаний по математике.

В соответствии с целью и гипотезой исследования были поставлены следующие частные задачи:

1. Изучить все разновидности практико-ориентированных задач, содержащихся в модулях ОГЭ по математике.

2. Разработать  методы и требования к построению практико-ориентированных задач для основной школы.

3. Провести подбор и разработку практико-ориентированных задач для каждой темы изучающийся в основной школе по математике.

4. Апробировать разработанные практико-ориентированные задачи.

5. Разработать сборник практико-ориентированных задач для подготовки к ОГЭ.

Практическая значимость исследования определяется тем, что в нём разработаны: система практико-ориентированных задач, обеспечивающая развитие практической деятельности учащихся, и методика обучения решению таких задач. Эти материалы могут быть использованы в практической деятельности учителей и обучающихся при работе с учащимися основной школы при подготовке к экзаменам.

Глава 1 Практико-ориентированные задачи в курсе математики

В настоящее время широко применяется термин «задача», как в жизни, так и в науке. Этим термином обозначаются многие и весьма различные понятия, но на сегодняшний день нет общего определения понятия «задача». Наиболее простое определение задачи, было дано известным педагогом-математиком С. О. Шатуновским. Оно гласит: «Задача есть изложение требования «найти» по «данным» вещам другие «искомые» вещи, находящиеся друг к другу и к данным вещам в указанных соотношениях». При этом предполагается, что понятия «вещь», «найти», «данные», «искомые» в каждом отдельном случае особо определяются.

В широком смысле задача рассматривается как проблемная ситуация с явно заданной целью, которую необходимо достичь. В более узком смысле задачей также называют саму эту цель, данную в рамках проблемной ситуации, то есть то, что требуется сделать.

В словаре Ожегова определение задачи звучит следующим образом: «Задача - то, что требует исполнения, разрешения. Это упражнение, которое выполняется посредством умозаключения, вычисления».

Таким образом задачи можно разделить на виды:

 Задача – есть ситуация, требующая от субъекта некоторого действия.

 Мыслительная задача – ситуация, требующая от субъекта некоторого

действия, направленного на нахождение неизвестного

 Проблемная задача (или проблема) – ситуация, требующая от субъекта

некоторого действия, направленного на нахождение неизвестного на основе пользования его связей с известным в условиях, когда субъект не обладает способом (алгоритмом) этого действия.

Таким образом, под термином «задача» будем рассматривать проблемную ситуацию, включающую цель и условия для ее достижения.  В своей работе будем называть их практико-ориентированными задачами.  Под практико-ориентированной задачей понимается, прежде всего, текстовая математическая задача, в которой выделяется четыре основных компонента:

1) условие – начальное состояние;

2) базис решения – теоретические основы решения;

3) решение – преобразование условия задачи для нахождения, требуемого;

4) заключение – конечное состояние.

Практико-ориентированные задачи – это задачи из окружающей действительности, которые тесно связанны с формированием практических навыков, необходимых в повседневной жизни.

Цель этих задач – формирование умений действовать в социально-значимой ситуации. Практико-ориентированные задачи помогают учащимся работать с информацией, выделять и отбирать главное, выстраивать собственные пути решения и обосновывать их, работать в парах и в группах, развить свои точки зрения, чувства, убеждения и желания в поисковой творческой деятельности учащихся.

Виды практико-ориентированных заданий:

  Аналитические – это определение и анализ цели, выбор и анализ

условий и способов решения, средств достижения цели;

Организационно – подготовительные – это планирование и организация

практико-ориентированной работы индивидуальной, групповой или коллективной по созданию объектов; анализ и исследование свойств объектов труда, формирование понятий и установление связей между ними.

  Оценочно-коррекционные – это формирование действий оценки и  

коррекции процесса и результатов деятельности, поиск способов совершенствования, анализ деятельности.

Одной из характеристик практико-ориентированных задач является их нестандартность, т.е. в структуре задачи неопределенны некоторые из ее компонентов. Другой особенность является присутствие различной степень рациональности – это наличие нескольких способов решения задачи. Также в задаче достаточно объёмная формулировка условий при наличии избыточных или недостающих данных. Постоянное применение практико-ориентированных задач при обучении математики в школе, позволит учащемуся закрепить и углубить теоретические знания, овладеть умениями и навыками по учебной дисциплине, уметь связывать учебный процесс с реальными жизненными условиями, проявлять инициативу и самостоятельность.

Глава 2  Виды практико-ориентированных задач, изучаемых в основной школе

2.1 Задачи на проценты

Задачи с процентами часто попадаются в экзаменационных заданиях. Многих они сбивают с толку – как разобраться с условием и как это решить? И совершенно зря, потому что с задачами на проценты каждый часто встречается в обычной жизни.

Пока такие задачки остаются оторванными от реальности строчками в учебнике, их бывает сложно понять и тем более решить. Чтобы стало понятнее, мы вам сейчас покажем примеры из обычной жизни, где вам могут встретиться проценты. А еще просто и доступно объясним, как решать задачи на проценты. И все у вас станет на свои места.

Давайте оглядимся по сторонам: значения в процентах указаны на упаковках с любыми продуктами. Значок процента «%» смотрит на нас с рекламных плакатов скидок и распродаж. В новостях проценты сразу бросаются в глаза, когда речь идет о повышении цен на товары или коммунальные услуги. А вот такая ситуация: вы купили что-нибудь через интернет и получили извещение от ближайшего почтового отделения. Или сами собираетесь послать подарок другу в другой город. Вам обязательно надо уметь разбираться с процентами, чтобы узнать, сколько денег почта захочет получить за свои услуги по пересылке. Или возьмем банковские кредиты и ипотеку. Банки в договорах всегда пишут мелкими буквами всякие вещи, которые полезно понимать. Например, какой процент по кредиту придется заплатить банку кроме тех денег, которые вы у него «одолжили» и обязаны вернуть.

А самый близкий школьникам пример связан с экзаменами. Каждый год после экзаменов публикуют официальную статистику. В которой немало задействованы и проценты. И эти проценты имеют прямое отношение к будущим выпускникам. Например, процент ребят, сдавших экзамен по математике на «хорошо» и «отлично» косвенно говорит о том, сколько абитуриентов с высокими баллами могли подать документы в вузы на технические специальности. А еще на программирование, прикладную математику и т.п. Чем их больше, тем выше конкурс. Если сравнивать их результаты со своими оценками, можно прикинуть собственные шансы на поступление.

Что такое процент?

Самое очевидное определение: процент – это десятичная дробь. В жизни редко что-то можно сравнивать целиком, чаще приходится сравнивать разные части чего-то целого. Поэтому мы используем такие понятия, как половина  , треть  , четверть  . Ну да, все так привыкли к слову «четверть» в школе, что забывают о его формальном значении – «четвертая часть учебного года». Сравнивать сотые доли удобнее всего – так появился процент (1/100): pro centum – «за сто» на латыни.

В школьном курсе математики под процентом понимают сотую часть числа.

Все задачи по математике на проценты вертятся вокруг сравнения частей одного целого, определения, какую долю составляет часть от целого, нахождения целого исходя из величины его части и т.п.

Проценты можно записать со знакомым всем значком процента: 1% =  . Можно представить в виде десятичной дроби (или натурального числа). Для этого нужно разделить на 100: 0,01. Можно наоборот: выразить число в процентах. Тогда его следует умножить на 100%.

Типы задач на проценты (Приложение 1)

Раз мы уже договорились, что задачи на проценты – это задачи на дроби, такой тактики будем придерживаться и дальше.

Тип 1: Увеличиваем число на процент.

Задача. Плата за телефон составляет 340 рублей в месяц. В следующем году она увеличится на 20%. Сколько рублей придётся платить ежемесячно за телефон в следующем году?

Решение. Нужно найти 20% от общей платы за телефон

340∙ 20% = 340∙20:100 = 68 (р).

Плата за телефон в следующем месяце увеличится на 68 рублей, значит в общем составит: 340+68=408 (р)

Ответ: 408 рублей.

Тип 2: Десятичная форма процента.

Задача. После уценки телевизора его новая цена составила 0,52 старой цены. На сколько процентов уменьшилась цена телевизора в результате уценки?

Решение. Первоначальная стоимость телевизора составляет 100% - это 1.

Так как после уценки он стал стоить 0,52 от первоначальной суммы, то скидка составляет: 1) 1 – 0,52 = 0,48

2) Вопрос задачи состоит в  том, чтобы найти количество процентов, на которые была снижена цена телевизора. А это можно найти переводя десятичную дробь в проценты: 0,48∙100 = 48 (%)

Ответ: на 48 процентов.

Тип 3: Проценты и пропорции.

Задача 1. В начале учебного года в школе было 1250 учащихся, а к концу учебного года их стало 950. На сколько процентов уменьшилось за учебный год число учащихся?

Решение. Число обучающихся в начале учебного года составляют 1250

учащихся – это 100%. К концу учебного года их стало 950 – сколько это в процентах неизвестно. Его обозначим за х.

Составим уравнение на пропорцию:  , решив которую мы найдем какой стал процент обучающихся в конце учебного года.

 %.

К концу процент обучающихся составил 76%.

Значит она уменьшилась на 100% ─ 76%= 24%

Ответ: уменьшилась на 24 %.

Задача 2. В начале года число абонентов телефонной компании «Восток» составляло 800 тысяч человек, а в конце года их стало 880 тысяч человек. На сколько процентов увеличилось за год число абонентов этой компании?

Решение. Аналогичными рассуждениями, как в задаче 1. Составляем

пропорцию

 %.

Число абонентов к концу года составил 110%.

Увеличилась она на 110%   100% = 10 %.

Ответ: увеличилась на 10%.

Задача 3. Поступивший в продажу в январе мобильный телефон стоил 2400 рублей. В ноябре он стал стоить 1200 рублей. На сколько процентов снизилась цена на мобильный телефон в период с января по ноябрь?

Решение. Задача аналогична задаче 1. Но в данном случае можно решить задачу еще более проще.  Так как первоначальная цена больше цены в ноябре в два раза. Можно сделать вывод, что цена была снижена на половину – а это значит на 100% : 2=50%.

Ответ: цена снижена на 50%.

Тип 4. Находим число по его проценту (дроби).

Задача 1. Товар на распродаже уценили на 50%, при этом он стал стоить 870 рублей. Сколько рублей стоил товар до распродажи?

Решение.  Так как 870 –это не первоначальная цена товара, а его стоимость

после уценки, то 870 – это 50%.

Пропорция будет выглядеть следующим образом:

Решая данную пропорцию найдем первоначальную стоимость товара.

 (р)

Ответ: первоначальная стоимость товара 1740 рублей.

Задача 2. Средний вес мальчиков того же возраста, что и Толя, равен 56 кг. Вес Толи составляет 140% среднего веса. Сколько килограммов весит Толя?

Решение.  Рассуждая аналогично задаче 1, составим пропорцию:

Решая данную пропорцию найдем первоначальную стоимость товара.

 (кг)

Ответ: вес Толи составляет 78,4 кг.

Тип 5: Процентное отношение двух чисел (часть от целого числа).

Задача. Для приготовления фарша взяли говядину и свинину в отношении 19:1. Сколько процентов фарша составляет свинина?

Решение.  Фарш состоит из двух видов мяса – говядина и свинина.

Говядины взяли 19 частей, а свинины 1 часть. Весь фарш составит 100%.

Значит чтобы найти процентное отношение мяса необходимо решить уравнение: 

 Так как свинины брали одну часть, то оно будет равно 1∙5%=5%.

Ответ: 5% свинины.

Тип 6: Задачи на простые проценты.

Задача 1. Стоимость проезда в электропоезде составляет 163 рубля. Школьникам предоставляется скидка 50%. Сколько рублей будет стоить проезд для 8 взрослых и 4 школьников?

Решение. Из ранее решенных задач, нам известно, что скидка 50% - это

половина стоимости. Значит проезд для детей составит: 163 : 2 = 81,5 рублей.

Стоимость проезда для 8 взрослых и  4 школьников составит:

8 ∙ 163 + 4 ∙81,5 = 1304 + 326=1630 (р)

Ответ: проезд стоит 1630 рублей.

Задача 2. Банк начисляет на счёт 10% годовых. Вкладчик положил на счёт 900 рублей. Сколько рублей будет на этом счёте через год, если никаких операций, кроме начисления процентов, со счётом проводиться не будет?

Решение. Простые проценты называются так, потому что они

начисляются многократно, но всякий раз к исходной сумме. Так как к концу года у него на счету должно лежать на 10% больше, то получим следующее соотношение:

Решая данную пропорцию найдем первоначальную стоимость товара.

 (р)

Ответ: к концу года на счету будет 990 рублей.

Задача 3. Спортивный магазин проводит акцию. Любой джемпер стоит 400 рублей. При покупке двух джемперов — скидка на второй джемпер 75%. Сколько рублей придётся заплатить за покупку двух джемперов в период действия акции?

Решение. Мы собираемся купить два джемпера. За первую мы заплатим 400 рублей, а за вторую предоставляется скидка 75%. Это означает, что заплатим мы 100%   75% = 25% стоимости.

Переведем проценты в десятичную дробь и подсчитаем:

1) 25% = 25 : 100=0,25

2) 400 ∙0,25=100 (р) стоимость второго джемпера.

Стоимость покупки:

3) 400 + 100 = 500 (р)

Ответ: за два джемпера заплатят 500 рублей.

Тип 7. Сложные задачи на проценты (вторая часть ОГЭ)

Задача 1. Свежие фрукты содержат 80% воды, а высушенные — 28%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 80 кг высушенных фруктов?

Решение. Исходя из условия, в свежие фрукты содержат 80% питательного вещества, а в высушенных оно содержит – 28% воды. Найдем количество сухого вещества в том и ином виде фруктов:

1) 100%   80% = 20% (сухого вещества в свежих фруктах)

2) 100%  28% = 72%(сухого вещества в высушенных фруктах).

А сухого вещества в том и ином виде фруктов содержится одинаковое количество. Значит, чтобы найти количество свежих фруктов (x) для приготовления 80 кг высушенных фруктов, составим уравнение:

 (кг)

Ответ: 288 кг свежих фруктов необходимо.

Задача 2. Свежие фрукты содержат 78% воды, а высушенные — 22%. Сколько сухих фруктов получится из 78 кг свежих фруктов?

Решение.  Задача обратная предыдущей задача. Рассуждая аналогично, в свежие фрукты содержат 78% питательного вещества, а в высушенных оно содержит – 22% воды. Найдем количество сухого вещества в том и ином виде фруктов:

1) 100%   78% = 22% (сухого вещества в свежих фруктах)

2) 100%  % = 78%(сухого вещества в высушенных фруктах).

А сухого вещества в том и ином виде фруктов содержится одинаковое количество. Чтобы найти количество  сухих фруктов (х) в 78 кг свежих фруктов составим уравнение:

 (кг)

Ответ: получится 22 кг сушенных фруктов.

2.2 Решение логических задач с помощью таблиц.

Логические задачи интересны, прежде всего тем, что они занимательны, не требуется большого запаса математических знаний и можно ограничиться только некоторыми сведениями из арифметики. Их решение развивает логическое мышление, а это способствует не только лучшему усвоению математики, но и успешному усвоению основ любой другой науки. Разнообразие логических задач очень велико. Способов их решения тоже немало. В данном параграфе представлены подборки логических задач, решаемых с помощью таблиц, приведенных в заданиях ОГЭ и курса реальная математика. Обычно трудно удержать в памяти все звенья логических рассуждений. Испытанный способ их записи – составление таблиц, называемых логическими квадратами. Как они строятся? Попробуем объяснить их на задачах (Приложение 2).

Задача 1. В таблице даны результаты забега мальчиков 8 класса на дистанцию 60 м. Зачёт выставляется при условии, что показан результат не хуже 10,5 с.

Укажите номера дорожек, по которым бежали мальчики, получившие зачёт.

Решение.  Рассуждаем следующим образом:

1) Так как зачёт выставляется при условии, что показан результат не хуже 10,5 с, то время должно быть меньше или равно 10,5 с.

2) Таким временем обладают мальчики пробежавшие за 9,8 и за 10,4 с.

3) Это мальчики под номерами I и IV

Ответ: 4.

Задача 2. В таблице приведены нормативы по прыжкам с места для учащихся 11 класса.

Какую отметку получит девочка, прыгнувшая на 167 см?

Решение. Для решения данной задачи проводим следующие рассуждения:

1)  норматив по прыжкам с места для учащихся 11 класса для девочек, значит нормативы для мальчиков мы не рассматриваем.

2) система оценок, которую важно понимать в данной таблице:

- до 155 см – оценка 2;

- от 170 см до 185 см – оценка 4;

- от 185 см  - оценка 5.

3) Девочка, прыгнула на 167 см, а это соответствует критерию от 155 см до 170 см.

4) Значит девочка получит оценку 3

Ответ: 3.

Задача 3.  Площадь территории России составляет 17,1 млн км2. Как эта величина записывается в стандартном виде?

Решение. Для успешного решения данной задачи, необходимо вспомнить

понятие стандартного вида числа.

1) Преобразовываем число 17,1 млн.

2) 17,1=1,71∙

3)  млн =1000 000 = 

4) 17,1 млн =  .

Ответ: 1.

Задача 4. В таблице приведены расстояния от Солнца до четырёх планет Солнечной системы. Какая из этих планет дальше всех от Солнца?

Решение.

1) Можем заметить, что все числа находятся в стандартном виде.

2) Сравниваем сначала порядок числа. У Нептуна и Сатурна порядок  наибольший – 9.

3)  Осталось сравнить числовые значения: 4,497 1, 427.

4) Дальше всех от Солнца находится Нептун.

Ответ: 3.

Задача 5. Расстояние от Земли до Солнца равно 149,6 млн км. В каком случае записана эта же величина?

Решение.

1) Число 149,6 млн представим в стандартном виде, это и булет решение данной задачи.

2) 149,6 млн .

Ответ: 2.

Задача 6. В таблице приведены размеры штрафов, установленные на территории России с 1 сентября 2013 года, за превышение максимальной разрешённой скорости, зафиксированное с помощью средств автоматической фиксации.

Какой штраф должен заплатить владелец автомобиля, зафиксированная скорость которого составила 90 км/ч на участке дороги с максимальной разрешённой скоростью 40 км/ч?

Решение.

1) Участок дороги с максимальной разрешённой скоростью 40 км/ч.

2)  Владелец автомобиля ехал со скоростью 90 км/ч.

3) Водитель превысил скорость на 90 – 40 =50 км/ч

4) 41

5) Штраф составит 1000 рублей.

Ответ: 2.

Задача 7. Куриные яйца в зависимости от их массы подразделяют на пять категорий: высшую, отборную, первую, вторую, третью. Используя данные, представленные в таблице, определите, к какой категории относится яйцо массой 82,2 г.

Решение.

1)  Дано яйцо массой 82,2 г.

2) Вес данного яйца соответствует категории 75,0 и более.

3) Значит данное яйцо высшей категории.

Ответ: 1.

2.3 Задачи на выполнение действий

На первый взгляд, задачи на выполнение действий самые простые. Конечно  же это только на первый взгляд. Решать данные виды задач можно как ответ на вопрос, поставленный в задаче, и решение как процесс нахождения этого результата.

С точки зрения методики обучения решению задач на первый план выступает процесс нахождения результата, который в свою очередь, тоже можно рассматривать с различных точек зрения Во-первых, как способ нахождения результата и, во-вторых, как последовательность тех действий, который входят в тот или иной способ. Важнейшим условием для успешного решения данных видов задач, является умение выделять условие задачи (что дано)  и и заключение (что необходимо найти).

Рассмотрим данный способ на примерах задач из ОГЭ (Приложение 3).

Задача 1. Принтер печатает одну страницу за 12 секунд. Сколько страниц можно напечатать на этом принтере за 8 минут?

Решение.

1) 8 минут – это 8∙60=480 с

2) Чтобы найти количество страниц, нужно  480 : 12 = 40 (с)

3) За 8 минут принтер сможет напечатать 40 страниц.

Ответ: 40 страниц.

Задача 2.  Первые 300 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 300 км — со скоростью 100 км/ч, а последние 300 км — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение. Найдем время, за которое автомобиль преодолел весь путь

1) 300 : 60 =5 (ч)

2) 300 : 100 = 3 (ч)

3) 300 : 75 =4 (ч)

4) 5 + 3 + 4 = 12 (ч) – время потраченное на весь путь.

5) Скорость, автомобиля равна отношению пройденного пути на время, потраченное на весь путь. Таким образом средняя скорость автомобиля равна:       

Ответ: 75 км / ч.

Задача 3. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 75 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего параллельно путям со скоростью 3 км/ч навстречу поезду, за 30 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Решение. Найдем расстояние пройденное поездом и пешеходом за 30 секунд. Так как огни дут навстречу друг к другу, то их сумма будет равна длине поезда. Для этого переведем скорости в м/с.

1) 75 км/ч =   скорость поезда

2) 3 км/ч =   (м/с) скорость пешехода.

3)   (м) проехал поезд за 30 сек.

4)   (м)  прошел пешеход за 30 сек.

5) 625 + 25 =650 (м) длина поезда.

Ответ: 650 м.

Задача 4. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 141 км/ч, проезжает мимо пешехода,  идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 6 км/ч, за 12 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Решение. Найдем расстояние пройденное поездом и пешеходом за 12 секунд. Так как  они идут в попутном направлении, то их разность будет равна длине поезда. Для этого переведем скорости в м/с.

1) 141 км/ч   

2)   (м) длина поезда.

Ответ: 450 м.

2.4 Задачи на составление уравнений

Решение текстовых задач способствует развитию мышления учащихся, более глубокому усвоению идеи функциональной зависимости, повышает вычислительную культуру. В процессе решения текстовых задач у учащихся формируются умения и навыки моделирования реальных объектов и явлений.

В курсе математики 5 – 9 классов рассматриваются два основных способа решения текстовых задач: арифметический и алгебраический. Арифметический способ состоит в нахождении значений неизвестной величины посредством составления числового выражения (числовой формулы) и подсчета результата, что было рассмотрено в 2.1 – 2.3. Алгебраический способ основан на использовании уравнений, составляемых при решении задач.

Остановимся на некоторых основных вопросах работы по составлению уравнений при решении текстовых задач.

Такая работа в основном осуществляется в 5 – 6 классах, хотя простейшие задачи уже решались этим методом в 1 – 4 классах.

Здесь можно выделить два основных этапа. На первом задача состоит в том, чтобы систематически и целенаправленно формировать некоторые важные общеучебные и математические навыки. На втором этапе основное внимание должно быть уделено выявлению зависимостей между величинами, входящими в текст задачи, и обучению переводу этих зависимостей на математический язык. Остановимся на каждом этапе подробнее.

Первый этап задачи.

К наиболее важным умениям, которые необходимо сформировать на этом этапе изучения текстовых задач, относятся следующие:

умение внимательно читать текст задачи;

умение проводить первичный анализ текста задачи – выделять условие и вопрос задачи;

умение оформлять краткую запись текста задачи;

умение выполнять чертежи (рисунки), таблицы по тексту задачи.

Выполненный чертеж (рисунок) или таблица по тексту задачи позволяет фиксировать ход рассуждений при ее решении, что способствует формированию общих подходов к решению задач. Поэтому к выполнению чертежей предъявляются требования: они должны быть наглядными, четкими, соответствовать тексту задачи; на них должны быть отражены по возможности все данные, входящие в условие задачи; выделенные на них данные и искомые должны соответствовать условию и общепринятым обозначения.

Еще одним важным моментом является понимание словесного выражения изменению величин и фиксация их в виде математических выражений или уравнений. Рассмотрим приемы составления уравнений на конкретных текстовых задачах из демоверсий ОГЭ (Приложение 4).

Задача 1. Площадь земель крестьянского хозяйства, отведённая под посадку  сельскохозяйственных культур, составляет 63 гектара и распределена между зерновыми и бахчевыми культурами в отношении 4:5. Сколько гектаров занимают бахчевые культуры?

Решение. Данный вид задач относится к разделу отношения и пропорции.

Отношение 4 : 5 нужно понимать следующим образом, зерновые культуры занимают от всей площади земель 4 части, а бахчевые 5 частей. Площадь всей земли равна 63 гектара.

1) I этап (составление математической модели) Пусть x гектаров занимает одна часть площади земли, тогда на зерновые ушли 4х гектаров части земли, а на бахчевые 5х гектаров. Площадь земель крестьянского хозяйства равна 4х + 5х = 63 гектара.

II этап (работа с математической моделью)

4х + 5х = 63;

9х = 63;

х = 63 : 9;

х = 7. (гектаров занимает одна часть площади земли)

так как бахчевые занимают 5х площади земли, значит она равна 5х=5∙7=35 (гектаров).

III этап. Ответ: бахчевые культуры занимают 35 гектаров.

Задача 2. Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 55 км/ч, а вторую — со скоростью 70 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение.

1) Пусть весь путь, пройденный автомобилем будет равен S, тогда половина пути равна  .

2) Схематически условия задачи будут выглядеть следующим образом:

3) I этап (составление математической модели). Пусть х км/ч – это средняя скорость автомобиля, тогда условия задачи можно записать в виде таблицы:

Время, потраченное фактически  со средней скоростью равны. Уравнение примет вид:  .

II этап (работа с математической моделью)

.

III этап. Ответ: средняя скорость автомобиля 61,6 км/ч.

Задача 3. Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 36 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 82 км, скорость первого велосипедиста равна 28 км/ч, скорость второго — 10 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

Решение. Сделаем схематический рисунок задачи

1) По условию задачи нужно найти расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи, его и обозначим за х км.

2) Составим таблицу к задаче:

Так как они выехали одновременно, то время, потраченное до встречи у обоих велосипедистов одинаковое: .

Решив данное уравнение, мы найдем расстояние, пройденное вторым велосипедистом до места встречи.

Ответ: второй велосипедист преодолел до встречи 26 км.

Задача 4. Два автомобиля одновременно отправляются в 240-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

Решение.

Пусть х км/ч скорость первого автомобиля. Составим таблицу по условиям данной задачи:

Составим соответствующее уравнение:  .

.

Так как скорость отрицательной быть не может, делаем вывод, что скорость первого автомобиля была равна 80 км/ч.

Ответ: 80 км/ч.

Задача 5. Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал  с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого автомобилиста на 11 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 66 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 40 км/ч.

Решение. Пусть х км/ч скорость первого автомобиля, а S – пройденное ими расстояние. Составим таблицу по условиям данной задачи:

Составим соответствующее уравнение:  .

Так как скорость автомобилиста должна быть больше 40 км/ч, то ответ 11 км/ч нас не устраивает.

Ответ: 66 км/ч.

Задача 6. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 60 км. Отдохнув, он отправился обратно в А, увеличив скорость на 10 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.

Решение. Пусть х км/ч скорость первого автомобиля. Составим таблицу по условиям данной задачи:

Составим соответствующее уравнение:  .

.

Так как скорость отрицательной быть не может, делаем вывод, что скорость велосипедиста была равной 10 км/ч.

Ответ: 10 км/ч.

Задача7. Два велосипедиста одновременно отправляются в 140-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 6 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Решение. Пусть х км/ч скорость первого автомобиля. Составим таблицу по условиям данной задачи:

Составим соответствующее уравнение:  .

.

Так как скорость отрицательной быть не может, делаем вывод, что скорость первого автомобиля была равна 14км/ч.

Ответ: 14 км/ч.

Задача 8. Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Решение. Пусть х км/ч скорость лодки в неподвижной воде. Составим таблицу по условиям данной задачи:

Составим соответствующее уравнение:  .

.

Так как скорость лодки отрицательной быть не может, делаем вывод, что скорость лодки в неподвижной воде равна 18 км/ч.

Ответ: 18 км/ч.

Задача 9. Первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 60 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Решение. Аналогично предыдущим задачам, составим таблицу по условиям данной задачи.

Пусть  х деталей в час делает второй рабочий, тогда:

Составим уравнение по условию задачи:   . Решив данное уравнение, найдем количество деталей, которые за час делает второй рабочий.

Ответ: 10 деталей.

Задача 10. Первая труба пропускает на 6 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 140 литров она заполняет на 3 минуты дольше, чем вторая труба?

Решение. Рассуждения аналогичны предыдущим задачам. Пусть х литров воды в минуту пропускает первая труба.

Получаем соответствующее уравнение:  .

Ответ: 14 литров.

Задача 10. Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставался 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 8 км/ч меньше скорости второго.

Решение. Пусть х км/ч скорость первого бегуна, тогда

Так как бегуны преодолели одно и то же расстояние, то получаем соответствующее уравнение: 

Ответ: 13 км/ ч скорость первого бегуна.

Задача 11. Расстояние между пристанями А и В равно 140 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 51 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Решение. Пусть х км/ч скорость лодки в неподвижной воде. Составим таблицу по условиям данной задачи:

Составим соответствующее уравнение:  .

Скорость лодки отрицательной быть не может, следовательно скорость лодки в неподвижной воде равна 18 км/ч.

Ответ: 18 км/ч.

Задача 12. Баржа прошла по течению реки 40 км и, повернув обратно, прошла ещё 30 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решение. Пусть х км/ч собственная скорость баржи. Составим таблицу по условиям данной задачи:

На весь путь баржа потратила 5 часов, значит уравнение будет выглядеть следующим образом:  .

Скорость баржи отрицательной быть не может, следовательно собственная  скорость баржи равна 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины усвоения учебного материала. Поэтому любой экзамен по математике, любая проверка знаний содержит в качестве основной и, пожалуй, наиболее трудной части решение задач.

За время реализации проекта мы решили огромное число задач, и, как правило, многие из них однотипные. Однако в итоге мы овладевали общими умениями решения задач.

А можно ли научиться решать любую задачу? Конечно, любые задачи научиться решать невозможно, ибо как бы хорошо ученик не умел решать задачи, всегда может встретиться такая, которую он решить не сможет.

Практическая ценность при решении текстовых задач разными способами в современных условиях заключается совсем не в том, чтобы раз и навсегда вооружить их приемами решения различных задач, которые будут возникать в дальнейшем обучении, а в том, что оно обогатит опыт мыслительной деятельности. Ведь определенный прием решения задач может быть просто забыт или вытеснен в дальнейшем обучении общим приемом.

Цель проектной работы заключалась в том, чтобы разработать задания с практико-ориентированным содержанием для повышения уровня результатов во время сдачи ОГЭ по математике.

В процессе реализации проекта познакомились с этапами решения задач с помощью составления уравнений, научились анализировать условие задачи, осознали необходимость исследования корней уравнения, составлять алгебраические выражения. При решении задач старались выполнять схематическую запись вместе, затем проводили решение. Ответы проверялись в устной форме: методом логического рассуждения, а потом обосновывали ответ.

Считаем, что цели и задачи поставленные перед собой для успешной реализации проекта достигнуты.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. 1. Волович М.Б. Ключ к пониманию математики. – М., 1997.

2. Далингер В.А. Обучение учащихся решению текстовых задач методом составления уравнений. – Омск, 1991.

3. Захарова А.Е. Текстовые задачи в курсе алгебры основной школы. Учебно-методические материалы спецкурса по методике преподавания математики «Избранные вопросы обучения алгебре в основной школе». М.: «Прометей», 2002.

4. www.wikipedia.ru 

5. www.proshkolu.ru.

6. www.1september.ru

7.  http://tutorial.math.lamar.edu

8.  http://www.regentsprep.org

9.  http://www.fipi.ru

10. https://oge.sdamgia.ru

Список литературы

1. Библиогр.: Афифи А.А. и Эйзен С. Статистический анализ, пер. с англ., М., 1982;

2. Кощеев В.А. Автоматизация статистического анализа данных, М., 1988; Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии, М., 1985