Практикум: "Решение уравнений методом введения новых переменных"

Практикум: «Решение уравнений методом введения новых переменных».

                                                      Педагог дополнительного образования

С.В. Рыковская

Эх! Хорошо б успеть по математике

Оценку высшую завоевать заранее,

Чтоб вспомнил кто-то: «Да! Он был –Романтиком!

Но хорошо решал по алгебре задания.

Главной целью дополнительных занятий по математике является углубление и расширение знаний, развитие интереса обучающихся к предмету, развитие их математических способностей, привитие интереса к самостоятельным занятиям математикой, воспитание и развитие творчества. Программа дополнительных занятий составляется по предмету, включая задачи повышенного уровня, осуществляя преемственность в содержании, методах и формах организации занятий по математике. Взаимосвязанное построение занятий не должно противоречить дидактическим принципам обучения. Занятия строятся на основе психолого-педагогичеких требований, направлений, таких как изучение на основе известных знаний, использование практических возможностей приложения математики. Ставя проблемные вопросы и задания при незначительной помощи педагога, школьники постепенно изучают курс при большом личном участии, проявляя активность и самостоятельность, овладевая техникой математического мышления. Так на занятиях в 10 классе можно рассмотреть тему «Комплексные числа», которая позволяет расширить границы решения уравнений. Для того, чтобы данная тема наиболее полно способствовала углублению математических знаний обучающихся, достаточно на конкретных примерах показать, как решаются уравнения с введением комплексных чисел. Возможность 1-2 часа в неделю дополнительно работать со школьниками, проявляющими повышенный интерес и способности к математике, представляет собой одно из проявлений формы обучения математике - дифференцированного обучения. По существу дополнительные занятия являются наиболее динамичной разновидностью дифференциации обучения. В какой  форме и какими бы методами не проводились занятия по математике, они должны строиться так, чтобы быть для обучающихся интересными, увлекательными, а подчас и занимательными. Необходимо использовать естественную любознательность школьника для формирования устойчивого интереса к своему предмету. Известный французский физик Луи де Бройль писал, что современная наука - "дочь удивления и любопытства, которые всегда являются ее скрытыми движущими силами, обеспечивающими ее непрерывное развитие". Основными формами проведения дополнительных занятий по математике являются в настоящее время изложение узловых вопросов данного курса педагога (лекционным методом), семинары, собеседования (дискуссии), решение задач, рефераты обучающихся (как по теоретическим вопросам, так и по решению цикла задач), математические сочинения, доклады обучающихся и т. д. Однако педагогу не следует отдавать предпочтение какой-либо одной форме или методу изложения. Вместе с тем, памятуя о том, что на занятиях по математике самостоятельная работа обучающихся должна 'занять ведущее положение, следует все же чаще применять решение задач, доклады, семинары-дискуссии, чтение учебной и научно-популярной литературы. Одной из возможных форм ведения дополнительных занятий по математике является разделение каждого занятия на две части. Первая часть посвящается изучению нового материала и самостоятельной работе обучающихся по заданиям теоретического и практического характера. По окончании этой части занятия обучающимся предлагается домашнее задание по изучению теории и ее приложений. Вторая часть каждого занятия посвящена решению задач повышенной трудности и обсуждению решений особенно трудных или интересных задач. Эта форма проведения занятий может способствовать успешному переходу от форм и методов обучения в школе к формам и методам обучения в высших учебных заведениях. Для дополнительного изучения полезно отнести:

а) решение нестандартных математических задач; б) творческие индивидуальные работы обучающихся над избранными ими самими вопросами элементарной математики. Опыт показывает, что на занятиях можно применять учебники, дидактический материал, технические средства. Одно из таких занятий я бы хотела вам представить. Это занятие по теме « Решение уравнений методом введения новой переменной».

Цели: Систематизация знаний обучающихся по данной теме.

Развитие мышления, умения применять полученные знания при решении уравнений.

Стимулирование интереса обучающихся к данной теме.

Воспитание у обучающихся самостоятельности, ответственности за себя и других

Ход занятия:

Педагог: Один начинающий волшебник неумело обращался с заклинаниями, в результате вместо грозы у него получалась коза, а вместо утюга – слон.

Чтобы решить уравнение, нужно совершать ряд преобразований и делать это надо осмотрительно, четко придерживаясь законов и правил алгебры.

Например: решая уравнение х=х, можно легко поделить на х и получить корень равный 1. стараясь, избавиться от всего лишнего, мы допустили бы ошибку и потеряли корень равный 0, чтобы этого не произошло, нужно четко понимать, чем вы занимаетесь.

Что же вы знаете об уравнениях?

Педагог: Мы с вами научились решать не сложные уравнения методом введения новой переменной. Не забывайте, что после введения новой переменной, получившееся уравнение следует решить с этим неизвестным, отбросить лишние корни ( если они есть) и только потом вернуться к первоначальному неизвестному.

Устно. Какую замену можно выполнить?

1) 2х+-3=0  2) х-5х-6=0   3) (х+3х+1)( х+3х+3)+1=0    4) х+=5

5)

А)Решите самостоятельно уравнение.  2х²-6х++2=0.

 А теперь проверьте.

  2х²-6х++2=0;

Пусть =а, при а0, тогда х²-3х+6=а²

х²-3х=а²- 6,

2(х²-3х)=2(а²-6) = 2а²-12

Получаем новое уравнение

2а²-12+а+2=0

2а²+а-10=0

Д=1+80=81

а₁=2     а₂=-– не удовлетворяет условию,

получаем  = 2

                 х²-3х+6 = 4

                 х²-3х+2 = 0

                 х₁=1   х₂=2

Проверка: х=1,  2-6++2 = 0   х=1 корень

                  х=2, 8-12++2 = 0  х=2 корень

                  Ответ: 1;2

Решим уравнение у доски .

В) log _2x+2  4+ log _(x+1)²  8=1

ОДЗ:   2х+20

            х+11

           2х+21, преобразуем уравнение по основанию = 2, получим +  .                                   

Педагог: Почему убрали знак модуля в основании логарифма?

Ученик: Учитывая ОДЗ.

Введем новую переменную, пусть

 log ₂(х+1)=а, тогда

а=3,   а=-0,5, тогда

log ₂(х+1)=3        log ₂(х+1)=-0,5

    х=7                      х =

Ответ: х=7, х=1/2-1

Приступаем к решению уравнения, проанализировав ход его решения.  Вот такое уравнение не требует сложных преобразований, необходимо заметить некоторые моменты.

.Г)

Решение. Заметим, что х и  , следовательно,

x

Поэтому равенство = 1 невозможно.

Ответ: нет коней

Вот еще одно из уравнений, которое решается легко, если мы введем новую переменную.

.

Д)

^ОДЗ:    

^{Введём новую переменную:} 

3^{√х -3}=а, а0

Тогда (а²-а) = 3а²-3а+6-18

            (а²-а-6)=3(а²-а-6)

            (а²-а-6)-3(а²-а-6)=0

Педагог: Почему нельзя делить на (а²-а-6)

Ученик: Будет потеря корня.

(-3)( а²-а-6)=0

=3    или а²-а-6=0

х=9            а=3, а=-2, не удовлетворяет условию

                   =3

                    =1

                    х=2, но учитывая ОДЗ, получаем корни 9;2

Ответ:  х=2; х=9

Решение данного уравнения сводится к введению распространенной подстановки.

Е)      

Поделим числитель и знаменатель левой дроби на х, получим

, введем новую переменную. Пусть х+=t, тогда получим х+=и

х+=. Решаем полученные уравнения: 2х-5х+2=0 и5х-2х+5=0  , получаем корни 2и 0,5

Ответ:2, 0,5

Работа в группах:

Решить уравнения:  1. 3+3=4    2. 6х+5х+-38=0

3.  х+5х+4-3=6   4.  ()+.  ()=6

Педагог: Итак, метод введения новой переменной:

-   позволяет «разбить задачу на подзадачи», то есть вместо одного сложного решать несколько простых уравнений;

-   нельзя выполнять преобразования, которые приводят к потере корней;

- если исходные уравнения с помощью допустимых преобразований заменено другим, причем в процессе преобразования хотя бы один раз уравнение заменялось на неравносильные ему, то проверка найденных корней путем подстановки в исходное уравнение является обязательной;

-   если же уравнение заменялось на равносильное, то проверка не нужна.

Домашнее задание: 1.  log (5+8х-4х). + log (1+4х+4х)=4, ответ 0,5;1

        2. 8*4+8=0, ответ:0;2

Краткие тезисы по теме практикума:

Главной целью дополнительных занятий по математике является углубление и расширение знаний, развитие интереса об учающихся к предмету, развитие их математических способностей, привитие интереса к самостоятельным занятиям математикой, воспитание и развитие творчества. Одно из таких занятий я бы хотела вам представить. Это занятие по теме « Решение уравнений методом введения новой переменной».