Презентация по математике "Теория вероятностей"

Презентация содержит задания для подготовки к ЕГЭ по теории вероятности. Она поможет ученикам и учителю вспомнить и систематизировать знания  и умения решать комбинаторные задачи.

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайный явлений: случайные события, случайные величины,  их свойства и операции над ними.

Вероятность случайного события

Вероятностью события А называется отношение числа m благоприятных для этого события исходов к n числу всех равновозможных исходов

Вероятность выражают в процентах

Вероятность события обозначается большой латинской буквой Р (от французского слова probabilite, что означает – возможность, вероятность).

ЕГЭ 2014 Теория вероятности

Учитель математики

МКОУ «СОШ№3»

г. Михайловска

Ореховская С.И.

Теория вероятностей

?

ЕГЭ

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайный явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними

Вероятность случайного события

Вероятностью события А называется отношение числа m благоприятных для этого события исходов к n числу всех равновозможных исходов

Вероятность выражают в процентах

Вероятность события обозначается большой латинской буквой Р (от французского слова probabilite, что означает – возможность, вероятность)

m

Р =

n

№ 1

• На экзамен вынесено 60 вопросов, Андрей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный вопрос.

• Ответ: 0,95

№ 2

• В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.
• Ответ:0,25

№ 3

• В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 10 черных, 2 желтых и 8 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси.

• Ответ: 0,4

№ 4

• Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.

• Ответ: 0,25

№ 5

• В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. 

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

• Ответ: 0,25

№ 6

• Перед началом первого тура соревнований по международным шашкам участников соревнований разбивают на игровые пары случайным образом (по жребию). Всего в соревнованиях участвует 26 спортсменов, среди которых 9 участников из Польши, в том числе Павел Калиновский. Найдите вероятность того, что в первом туре Калиновский будет играть с шашистом из Польши.

• Ответ: 0,32

№ 7

• В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?

• Ответ: Р=2:5=0,4

№ 8

• Почти одновременно 8 человек, в том числе Андрей, заказали по телефону пиццу, все разных видов. Оператор перепутал 3 и 5 заказы. С какой вероятностью Андрею привезут его пиццу?

• Ответ: Р=(8-2)/8=0,75

№ 9

• Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 6, но не дойдя до отметки 9 часов.

• Подсказка: между 6 и 9 три деления.

• Ответ:Р=3:12=0,25

№ 11

•   В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.

• Ответ: 0,498.

№ 12

•    На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.

• Ответ: 0,1.

№ 13

• В барабане лотереи шары с номерами от 1 до 16. Какова вероятность того, что номер случайно выбранного шара будет делиться на 4?

• Ответ: 0,25

№ 14

• На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?

• Ответ: 0,5.

№ 15

• В урне находится 5 шаров: 2 белых и 3 черных. Наугад вытаскивают 2 шара. Какова вероятность того, что вытащенные шары будут черного цвета?

• Ответ:0,3

Теория вероятности на ЕГЭ

• Решение задач на монеты и кубики

Полезная информация

Пусть k – количество бросков монеты, тогда количество всевозможных исходов: n = 2 k .

Пусть k – количество бросков кубика, тогда количество всевозможных исходов: n = 6 k .

Теория вероятности на ЕГЭ

Задачи на кубики

№ 1

Ответ: 0,5

№ 2

Ответ: 0,5

№ 3

Ответ: 0,5

№ 4

Ответ: 0,11

№ 5

Ответ: 0,11

№ 6

Ответ: 0,08

№ 7

Ответ: 0,25

№ 8

Ответ: 0,25

№ 9

Ответ: 0,5

№ 10

Ответ: 0,5

Теория вероятности на ЕГЭ

Задачи с монетами

№ 1

Ответ: 0,25

№ 2

Ответ: 0,25

№ 3

Ответ: 0,5

№ 4

Ответ: 0,5

№ 5

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет все три раза.

Ответ: 0,125

№ 6

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет два раза.

Ответ: 0,375

№ 7

• В кармане у Пети было 3 монеты по 1 рублю и 2 монеты по 2 рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то 2 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что все монеты по 1 рублю лежат в кармане.

• Ответ:0,1

Объединение событий

№ 1

• На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
• Ответ: Р=0,35+0,2=0,55

№ 2

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.

Ответ: 0,38.

Пересечение событий

№ 1

Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3.

Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Ответ: 0,156 .

№ 2

Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,9 . Найдите вероятность того, что он попадёт в цель четыре раза, стреляя подряд.

Ответ:0,6561

№ 3

• Биатлонист 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,85. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 3 раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение:

• Биатлонист попадает в мишень первый раз  и  второй,   и  третий: 

0,85·0,85·0,85=0,614125

Вероятность промаха, – 1-0,85 =0,15

Биатлонист промахнулся при четвертом выстреле  и  при пятом: 0,15·0,15=0,0225

Тогда вероятность того, что биатлонист первые 3 раза попал в мишень, а ( и! ) последние два промахнулся такова: 0,614125·0,0225≈0,01

• Ответ: 0,01.

№ 4

• Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,07. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Вероятность перегорания всех трех лампочек в течении года 0,7·0,7·0,7=0,000343

Тогда вероятность противоположного события – хотя бы одна лампа не перегорит – есть  1-0,000343= 0,999657.

Ответ: 0,999657.

№ 5

• При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Решение:

Переформулируем вопрос задачи:

• Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность промаха была бы меньше 0,02?

При одном  выстреле вероятность промаха  – 0,6.

При двух выстрелах вероятность промаха – 0,6·0,4=0,24 (первый выстрел – промах и второй выстрел – промах).

При трех выстрелах вероятность промаха – 0,6·0,4·0,4=0,096

При четырех выстрелах вероятность промаха – 0,6·0,4·0,4·0,4=0,0384

При пяти выстрелах вероятность промаха –0,6·0,4·0,4·0,4 ·0,4=0,01536

Замечаем, что 0,01536

Итак, пяти выстрелов достаточно, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98.

• Ответ: 5.

№ 6

• На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.

Решение:

• Р=0,5·0,5·0,5·0,5=0,0625

№ 7

Решение:

=0,125

4

№ 8

Ответ округлите до сотых .

Решение:

Ответ:0,42

Теория вероятности В6

• Решение комбинированных задач.

№ 1

• Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение:

1)Джон хватает пристрелянный револьвер (вероятность этого 0,4 )  и промахивается (вероятность 1-0,9=0,1 ). Вероятность этого события 0,4·0,1=0,04

2) Джон хватает не пристрелянный револьвер 

(вероятность этого 0,6) и промахивается (вероятность

  1-0,3=0,7). Вероятность этого события  0,6·0,7=0,42

3)Джон может схватить пристрелянный револьвер и промахнуться  или  схватить не пристрелянный

  револьвер и промахнуться, поэтому искомая вероятность есть:0,04+0,42=0,46

Ответ: 0,46

№ 2

• Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 70% этих стекол, вторая – 30%. Первая фабрика выпускает 1% бракованных стекол, а вторая – 3%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение:

Ситуация 1:

Стекло оказывается с первой фабрики (вероятность события 0,7)  и оно бракованное (вероятность события 0,01).

То есть должны произойти оба события. На языке теории вероятностей это означает  произведение вероятностей   каждого из событий: 0,7·0,01=0,007

Ситуация 2:

Стекло оказывается со второй фабрики (вероятность события 0,3)  и  оно бракованное (вероятность события 0,03):

0,3·0,03=0,009

Так как нас интересует вероятность покупки бракованного стекла,

получаем: 0,007+0,009=0,016

Ответ: 0,016.

№ 3

• В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 3 августа погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 августа в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение:

Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х — хорошая, О — отличная погода). Найдем вероятности наступления такой погоды:

P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128;

P(XOO) = 0,8·0,2·0,8 = 0,128;

P(OXO) = 0,2·0,2·0,2 = 0,008;

P(OOO) = 0,2·0,8·0,8 = 0,128.

Указанные события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 =

  0,392.

Ответ: 0,392.

№ 4

• Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 90% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 60% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение:

• Пусть вероятность того, что яйцо, купленное у агрофирмы,  из I хозяйства –Р. Тогда вероятность того, что яйцo, купленное у агрофирмы,   из II хозяйства – 1-Р.

Высшую категорию получает яйцо, если оно из I хозяйства  и  I категории или из II хозяйства  и  I категории, то есть

0,4р+0,9(1-р)=0,6

р=0,6

№ 5

• Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что у 6% пациентов с подозрением на гепатит анализ дает положительный результат. Найдите вероятность того, что пациент, поступивший с подозрением на гепатит, действительно болен гепатитом. Ответ округлите до тысячных.

Решение:

• Пусть  р– вероятность того, что пациент, поступивший с подозрением на гепатит,  действительно болен  гепатитом.
• Тогда  (1-р)– вероятность того, что пациент, поступивший с подозрением на гепатит,  не болен  гепатитом.

• 0,9р+0,01(1-р)=0,6
• р≈0,056

Удачи на ЕГЭ!