Программа факультативного курса «Геометрия Лобачевского»

Оглавление

Введение………………………………………………………………...……3

Глава I. Основные факты геометрии Лобачевского       

§1. Трактовка основных понятий в геометрии Лобачевского…….9       

§2. Методические рекомендации к изучению основных элементов геометрии Лобачевского в школьном курсе……16

Глава II. Содержание факультативного курса

§1. Геометрия до Евклида………………………………………...19

§2. Евклид и его «Начала»………………………………………...21

§3. Аксиоматический метод……………………………………....25

§4. Попытки доказательства V постулата……………………….30

§5. «Воображаемый мир» Лобачевского………………………...39

§6. Модели геометрии Лобачевского…………………………….49

Заключение…………………………………………………………55

Литература…………………………………………………………56

Приложение…………………………………………………………57

Введение

В истории науки есть немало драгоценных страниц, но кажется, история открытия и создания неевклидовой геометрии Лобачевского не имеет себе подобной.

Геометрия Лобачевского расчистила путь для создания современного аксиоматического метода сначала в геометрии, а затем и в других математических дисциплинах. Исследования Лобачевского имели очень большое значение в логическо-математическом отношении. Создание непротиворечивой геометрии Лобачевского показало, что аксиомы геометрии не являются незыблемыми догмами, – они могут подвергаться изменению. Так оно впоследствии и оказалось: принимая в основу различные аксиомы, учёные получали различные геометрии. Одновременно с этим возросло внимание к вопросу об обосновании геометрии, к построению логически безупречной системы аксиом геометрии.

К концу XIX века исследования по основаниям геометрии завершилось, в 1899 году Гильберт в своих «Основаниях геометрии» даёт аксиоматику евклидовой геометрии, уже свободную от принципиальных недостатков, которые были у Евклида.

Открытие Лобачевского расширило геометрические представления. Наряду с евклидовым пространством учёные стали рассматривать и неевклидовы пространства. Геометрия Лобачевского послужила примером для построения эллиптической геометрии Римана, недезарговой геометрии и т. д.

Геометрия Лобачевского составляет в настоящее время одну из основ современной математической культуры. Теперь стало азбучной истиной, что нельзя правильно и глубоко понять евклидову геометрию без сопоставления её с геометрией Лобачевского.

Опираясь на результаты и идеи Римана, которые в свою очередь были дальнейшим развитием идей Лобачевского и следующим этапом развития геометрии, крупнейший физик современности Альберт Эйнштейн построил свою знаменитую теорию относительности, в основе которой, как известно, лежит тесная взаимосвязь пространства, времени и материи.

Истоки современной теоретической физики, её промышленное применение тесно связаны с геометрией Лобачевского. Геометрия Лобачевского послужила основой для открытий, приведших к теории относительности и методам расчёта процессов внутри атомного ядра. Исследования строения атомного ядра с невероятной быстротой привели к созданию атомной промышленности.

Ещё Лобачевский установил, что его неевклидова геометрия имеет прямое отношение к изучению космических пространств. В рамках обычных земных масштабов во всех расчетах мы пользуемся евклидовой геометрией, как наиболее простой и верно отражающей реальную действительность. Дело коренным образом меняется, если мы переходим от земных к сверхбольшим масштабам макромира или сверхмалым масштабам микромира. Считать, что и здесь господствует, евклидова геометрия, было бы более чем рискованно. Достижения физики последних лет говорят о том, что физические пространства сверхбольших масштабов ведут себя как неевклидовы пространства.

В настоящее время в классах с углубленным изучением математики ставится вопрос о более основательном рассмотрении аксиоматического метода и об изучении понятий о неевклидовых геометриях.

Недостаток соответствующей литературы значительно затрудняет знакомство учащихся с выше указанными идеями, так как имеющиеся курсы, посвящённые изложению неевклидовых геометрий, требуют от обучаемых большой математической подготовки, предполагают знакомство с элементами высшей математики.

Поэтому в настоящее время необходимы разработки элементарного и вместе с тем систематического и достаточно строгого изложения основ аксиоматического метода, понятия о неевклидовых геометриях.

С развитием науки уровень знания учащихся должен повышаться. И тем более такое великое открытие не должно оставаться в тени.

Программа факультативного курса для учащихся 9-11 классов

«Аксиоматический метод. Геометрия Лобачевского» (17 часов)

1. Аксиоматический метод 3 часа

Аксиоматический метод. Различные аксиоматики (аксиоматика Евклида, аксиоматика Гильберта и аксиоматика Лобачевского).

2. Геометрия до Евклида. Евклид и его «Начала» 3 часа

Евклид и его «Начала», определения, аксиомы, постулаты. Их различия.

3. Попытки доказательства V постулата (2 часа)

Попытки доказательства V постулата.

4. «Воображаемый мир» Лобачевского (5 часов)

Основные положения геометрии Лобачевского.

5. Модели геометрии Лобачевского (4 часа)

Модель Кэли-Клейна, модель Пуанкаре.

Весь материал - смотрите документ.