Системы счисления

Цели:

образовательная: дать понятие систем счисления, научить переводить целые числа из одной системы счисления в другую.

воспитательная: способствовать воспитанию понимания значения чисел в истории человечества.

развивающая: способствовать развитию кругозора, развитию аналитического мышления, памяти, навыков обработки информации.

Тип урока: Изучение новых знаний.

Формы и методы работы:

лекция, эвристическая беседа, программированный метод и групповая работа в парах.

Материальное обеспечение урока:

компьютер и проектор, слайды – презентации, выполненные в ПО PowerPoint;  каточки для групповой работы, таблицы соотношений двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления.

План  урока:

1. Организация начала урока
2. Изучение нового материала
3. Закрепление знаний и способов действий
4. Домашнее задание
5. Подведение итогов урока.

Ход урока:

Организация начала урока

Организационный момент. Приветствие.

Сообщение темы, цели и плана урока.

В процессе постановки цели урока используется  эпиграф к уроку:

«Все есть число»,

- так говорили пифагорейцы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности.

Изучение нового материала

Мы сегодня попытаемся с вами раскрыть историю возникновения чисел и углубиться в мир двоичной системы счисления.

Счет появился тогда, когда человеку потребовалось информировать своих сородичей о количестве обнаруженных им предметов.

Сначала люди  просто различали один предмет перед ними или нет. Если предмет был не один, то говорили «много».

Первыми понятиями математики были "меньше", "больше" и "столько же". Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся.

Доклад №1. «Происхождение систем счисления»

Наиболее распространенной системой счисления является десятичная. Почему именно числу 10 отведена привилегированная роль? Человек, далекий от истории, ответил бы, что число 10 - круглое, на него удобно умножать любое число, поэтому удобно считать десятками, сотнями и т.д. Дело обстоит как раз наоборот, число 10 круглое потому, что оно принято за основание системы счисления. При переходе к другой системе счисления его "круглость" исчезает. В шестеричной системе счисления 10₁₀=14₆.

Причина, по которой именно десятичная система счисления стала общепринятой, не математического характера. Десять пальцев рук - вот первоначальный аппарат для счета, которым человек пользовался, начиная с доисторических времен. Именно счет на пальцах рук положил начало десятичной системе счисления.

Доклад №2. «Двенадцатеричная система счисления».

Десятичная система счисления далеко не сразу заняла господствующее положение. В разные исторические периоды многие народы пользовались другими системами счисления. Широкое распространение получила двенадцатеричная система счисления. Её происхождение связано тоже со счетом на пальцах, так как четыре пальца руки (кроме большого) имеют в совокупности двенадцать фаланг. Перебирая их по очереди большим пальцем, ведут счет от 1 до 12. Затем 12 принимают за единицу следующего разряда и т.д. В устной речи остатки двенадцатеричной системы счисления сохранились до наших дней: вместо того, чтобы говорить "двенадцать" мы часто говорим "дюжина". Многие предметы: ножи, вилки и т.д. считают именно дюжинами, а не десятками.

Остатки двенадцатеричной системы счисления имеются у англичан - в системе мер 1 фут = 12 дюймам и в денежной системе 1 шиллинг = 12 пенсам.

Доклад №3. «Системы счисления других племен и народов»

 Шестидесятеричная система была распространена в Вавилоне. Эта система, как и двенадцатеричная, сохранилась и до наших дней в делении часа на 60 минут, минут на 60 секунд, в системе измерения углов, где 1 градус = 60 минутам, 1 минута = 60 секунд.

У ряда африканских племен была распространена пятеричная система счисления, потому что считали пальцами одной руки.

У ацтеков и майя, населявших американский континент и создавших там высокую культуру, почти полностью уничтоженную испанскими завоевателями в XVI-XVII в., была принята двадцатеричная система счисления. Пальцы рук и ног составляют 20 единиц. Та же система была принята у кельтов, населявших Западную Европу, начиная со II тысячелетия до нашей эры. Следы двадцатеричной системы кельтов сохранились в современном французском языке: например, "восемьдесят" по-французски будет quatre-vings, т.е. буквально "четырежды двадцать". Число 20 встречается и во французской денежной системе: основная денежная единица - франк – делится на 20 су.

Запомнить большие числа было трудно, поэтому к «счетной машине» рук и ног добавляли механические приспособления.

Способов счета было придумано немало:
В разных местах придумывались разные способы передачи численной информации. Например, перуанцы употребляли для запоминания чисел разноцветные шнуры с завязанными на них узлами. Для запоминания чисел использовались камешки, зерна, ракушки и т.д.

Потребность в записи чисел появилась в очень древние врмена, как только люди научились считать.
Количество предметов изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности: камне, глине и т.д.

Люди рисовали палочки на стенах и делали зарубки на костях животных или ветках деревьев

 Археологами найдены такие "записи" при раскопках культурных слоев, относящихся к периоду палеолита
(10 - 11 тыс. лет до н. э.). Этот способ записи чисел называют единичной ("палочной”, “унарной”) системой счисления
 Любое число в ней образуется повторением одного знака – единицы. Единичная запись для больших чисел была громоздкой и неудобной, поэтому люди стали искать более компактные способы обозначать большие числа. Появились специальные обозначения для «пятерок»,  «десяток», «сотен» и т.д.

Очень наглядной была система таких знаков у египтян.

 Египтяне придумали эту систему  около 5000 лет тому назад.  Это одна из древнейших систем записи чисел, известная человеку

В середине V в. до н. э. появилась запись чисел нового типа, так называемая  алфавитная нумерация. В этой системе записи числа обозначались при помощи букв алфавита., над которыми ставились черточки. Алфавитная система была принята и в Древней Руси

В древнем Риме возникла Римская нумерация, используемая в настоящее время. В ней имеются узловые числа: один (один палец), пять (раскрытая ладонь), десять (две сложенные ладони). Для обозначения чисел 50, 100, 500, 1000 и 2000 специальные знаки. Остальные числа получались путем прибавления или вычитания одних узловых чисел из других.

Пример перевода числа из римской нумерации в арабскую:

MCCMXXXCXVI =1000+(1000—100-100)+(100—10-10-10)+5+1 == 1876 

Задание:

Запишите данное число арабскими цифрами.
ZZCCCCMLCVX =2000+(1000-100-100-100-100)+(100-50)+(10-5) = 2655 

Самая распространенная на сегодняшний день нумерация – арабская. По мнению марроканского историка Абделькари Боунжира арабским цифрам  в их первоначальном варианте было придано значение в строгом соответствии с числом углов, которые образуют фигуры.

Система счисления – совокупность приемов и правил записи чисел с помощью определенного набора символов.

Количество цифр (знаков), используемых для представления чисел  называют основанием системы счисления

Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа называется непозиционной. Системы счисления,   в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число называют позиционной. Примеры.

Позиционные системы счисления результат длительного исторического развития непозиционных систем счисления

Доклад №4. «Системы счисления с точки зрения других наук»

С математической точки зрения двенадцатеричная система счисления имеет преимущества перед десятичной. Т.к. 12 делится на 2, 3, 4 и 6, а число 10 делится только на 2 и 5, а больший запас делителей у числа, служащего основанием системы счисления, создает удобства в ее использовании.

В военном морском деле до сих пор распространены такие единицы измерения как морской узел, морская миля и др. 

Многочисленные следы различных систем счисления сохранились до наших дней, однако, для выполнения вычислений мы всегда пользуемся десятичной системой, а самые умные машины – ЭВМ, работают с минимальной двоичной системой счисления. Для записи чисел используются только две цифры – 0 и 1. Выбор двоичной системы объясняется тем, что электронные элементы, из которых строятся ЭВМ, могут находиться только в двух хорошо различимых состояниях. По существу эти элементы представляют собой выключатели. Как известно выключатель либо включен, либо выключен. Третьего не дано. Одно из состояний обозначается цифрой 1, другое – 0.

Благодаря таким особенностям двоичная система стала стандартом при построении ЭВМ.

Недостаток двоичной системы - быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.  Поэтому наряду с двоичной системой счисления в компьютере используются ещё две – восьмеричная и шестнадцатеричная. Их называют родственными двоичной, поскольку их основания являются степенями  числа 2.

Правило: для перевода целого числа из десятеричной системы счисления  в другую позиционную систему, его последовательно делят на основание новой системы счисления и каждый раз записывают остаток. Деление продолжается до тех пор, пока целая часть частного не окажется меньше, чем основание системы счисления. Результат формируется путём последовательной записи слева направо цифры старшего разряда и всех записанных остатков в порядке, обратном их получению.

Пример перевода числа  123₁₀=1111011₂

Переведите самостоятельно 123₁₀=N₄

Перевод чисел внутри родственных систем (в частности, с основанием 2, 8 и 16) упрощен, поскольку все цифры алфавита для систем с большим основанием можно представить совокупностью цифр системы с наименьшим основанием:  Каждый получает таблицу соотношений двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления.

Таблица соотношений двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления –смотри документ

Если внимательно посмотреть на столбцы 2 и 3, то видно, что все восьмеричные цифры от 0 до 7 можно записать при помощи трёх двоичных разрядов. Для перевода восьмеричного числа достаточно каждую цифру этого числа заменить двоичной триадой (три разряда) в соответствии с таблицей. Для перевода двоичного числа в восьмеричное следует разделить число на триады от младших разрядов вправо, заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой. Все шестнадцатеричные цифры можно аналогично записать при помощи четырёх двоичных разрядов.

Примеры использования таблицы.

123₁₀=1111011₂=1.111.011₂=173₈==111.1011₂=7B₁₆

7B09₁₆=0111.1011.0000.1001₂=111101100001001₂= 111.101.100.001.001₂ ==75411₈

Закрепление знаний и способов действий 

Работа в парах с последующей взаимопроверкой и проверкой с экраном.

1 карточка

№1. Заполните таблицу:

Например:     Кот   12₁₀ 16₁₀ 20₁₀      1100₂ 10000₂ 10100₂.

2 карточка

№1. Заполните таблицу:

Например:     Кот   12₁₀ 16₁₀ 20₁₀      1100₂ 10000₂ 10100₂.

3 карточка

№1. Заполните таблицу:

Например:     Кот   12₁₀ 16₁₀ 20₁₀      1100₂ 10000₂ 10100₂.

4 карточка

№1. Заполните таблицу:

Например:     Кот   12₁₀ 16₁₀ 20₁₀      1100₂ 10000₂ 10100₂.

5 карточка

№1. Заполните таблицу:

Например:     Кот   12₁₀ 16₁₀ 20₁₀      1100₂ 10000₂ 10100₂.

6 карточка

№1. Заполните таблицу:

Например:     Кот   12₁₀ 16₁₀ 20₁₀      1100₂ 10000₂ 10100₂.

Решение – смотри документ

Устное закрепление:

1.Что такое система счисления?

2.Чем отличаются позиционные системы счисления от непозиционных, в чем их преимущества?

Привести примеры позиционных и непозиционных систем счисления.

4.Что такое основание системы счисления?

5. Система счисления с каким основанием была самой первой?

6. В какой стране   впервые стали использоваться специальные обозначения для 5,10,100,1000,1000000?

Домашнее задание   тема 1.5, стр.42-43,

Закодировать свои фамилию и полное имя десятичными, двоичными, восьмеричными и шестнадцатеричными числами, год рождения с помощью римской нумерации.

Подведение итогов занятия

Выставление оценок, релаксация