Учебный элемент по математике "Неопределенный интеграл"

Изучив данный учебный элемент, Вы узнаете:

Определение неопределенного интеграла.

Таблицу вычисления основных неопределенных интегралов.

Правила интегрирования неопределенных интегралов.

Оборудование, материалы и вспомогательные средства:

персональный компьютер;

мультимедиа проектор;

презентация урока;

Сопутствующие учебные элементы и пособия:

1. Учебник «А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа 10-11 классы»

2. Задачник «А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа 10-11 классы»

Задача отыскания первообраз­ной для заданной функции у = f(х) имеет не одно решение. Рассмотрим этот вопрос более детально.

Запись в тетрадь:

Теорема. Если   y=F(x)—   первообразная   для   функции у = f(х)  на промежутке X , то у функции у = f(х)  бесконечно много первообразных и все они имеют вид y=F(x)+С.

Доказательство. 1. Пусть y=F(x) -первообразная для функции у = f(х)  на промежутке X . Это значит, что для всех х из X выполняется равенство F'(x)=f(x). Найдем произ­водную любой функции вида y=F(x)+С :

(F(x)+C)'=F'(x)+C'=f(x)+0=f(x)

Итак, (F(x)+C)'=f(x)

Это значит, что y=F(x)+С являет­ся первообразной для функции у = f(х) .

Таким образом, мы доказали, что если у функции у = f(х)  есть первообразная y=F(x) , то у функции  у = f(х)  бесконечно много первообразных: например, любая функция вида y=F(x)+С является первообразной.

2. Докажем теперь, что указанным видом функций исчерпы­вается все множество первообразных.

Пусть y=F1 (x)  и y=F(x)  — две первообразные для функ­ции у = f(х)   на промежутке X. Это значит, что для всех х из X выполняются соотношения F '1 (x) = f(х)  и F ' (x) = f(х).

Рассмотрим функцию у = H(х), где H(х) = F 1 (x)- F  (x) , и най­дем ее производную: (H(x))'=(F 1 (x)- F(x))' = F'1 (x)-F'(x) = f(x)-f(x) =0

Известно, что если производная функции у = H(х)  на проме­жутке X тождественно равна нулю, то функция постоянна на промежутке X .

Значит, H(x)=C ,  т.е. F1 (x)-F(x)=C , F1 (x)=F(x)+C

Теорема доказана.

Запись в тетрадь:

Определение . Если функция у = f(х) имеет на промежутке X первообразную y=F(x) , то множество всех первообразных, т. е. множество функций вида y=F(x)+С , называют неопре­деленным интегралом от функции у = f(х)  и обозначают

Весь материал - смотрите документ.

Учебный элемент

Тема: «Неопределенный интеграл»

- 5

Цели:

Изучив данный учебный элемент, Вы узнаете:

• Определение неопределенного интеграла.

• Таблицу вычисления основных неопределенных интегралов.

• Правила интегрирования неопределенных интегралов.

Оборудование, материалы и вспомогательные средства:

1. персональный компьютер;

2. мультимедиа проектор;

3. презентация урока;

Сопутствующие учебные элементы и пособия:

1.Учебник «А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа 10-11 классы»

2.Задачник «А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа 10-11 классы»

Задача отыскания первообраз­ной для заданной функции у = f(х) имеет не одно решение. Рассмотрим этот вопрос более детально.

Запись в тетрадь:

Теорема. Если y=F(x)— первообразная для функции у = f(х) на промежутке X , то у функции

у = f(х) бесконечно много первообразных и все они имеют вид y=F(x)+С.

Доказательство. 1. Пусть y=F(x) -первообразная для функции у = f(х) на промежутке X . Это значит, что для всех х из X выполняется равенство F'(x)=f(x). Найдем произ­водную любой функции вида y=F(x)+С :

(F(x)+C)'=F'(x)+C'=f(x)+0=f(x)

Итак, (F(x)+C)'=f(x)

Это значит, что y=F(x)+С являет­ся первообразной для функции у = f(х) .

Таким образом, мы доказали, что если у функции у = f(х) есть первообразная y=F(x) , то у функции

у = f(х) бесконечно много первообразных: например, любая функция вида y=F(x)+С является первообразной.

2. Докажем теперь, что указанным видом функций исчерпы­вается все множество первообразных.

Пусть y=F(x) и y=F(x) — две первообразные для функ­ции у = f(х) на промежутке X. Это значит, что для всех х из X выполняются соотношения F '(x) = f(х) и F ' (x) = f(х).

Рассмотрим функцию у = H(х), где H(х) = F (x)- F (x) , и най­дем ее производную:

(H(x))'=(F (x)- F(x))' = F' (x)-F'(x) = f(x)-f(x) =0

Известно, что если производная функции у = H(х) на проме­жутке X тождественно равна нулю, то функция постоянна на промежутке X .

Значит, H(x)=C , т.е. F(x)-F(x)=C , F(x)=F(x)+C

Теорема доказана.

Запись в тетрадь:

Определение . Если функция у = f(х) имеет на промежутке X первообразную y=F(x) , то множество всех первообразных, т. е. множество функций вида y=F(x)+С , называют неопре­деленным интегралом от функции у = f(х) и обозначают

(читают: неопределенный интеграл эф от икс дэ икс).

Таблица основных неопределенных интегралов:

Опираясь на приведенные выше три правила отыскания перво­образных, мы можем сформулировать соответствующие правила интегрирования.

Запись в тетрадь:

Правило1:Интеграл от суммы функций равен сумме неопределенных интегралов от слагаемых:

Правило2: Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

где – постоянная.

Правило3: Если

Рассмотрим примеры отыскания неопределенных интегралов:

Решение: Воспользовавшись первым и вторым правилми интегрирования, получим

Теперь воспользуемся формулами интегрирования :

В итоге получаем

Воспользовавшись третьим правилом интегрирования и формулой интегрирования , получим

Для непосредственного нахождения заданного интеграла у нас нет ни соответствующей формулы в таблице, ни соответствующего правила. В подобных случаях иногда помогают предварительно выполненные тождественные преобразования выражения, содержащегося под знаком интеграла.

Воспользовавшись тригонометрической формулой понижения степени

, получим

Запись в тетрадь:

Решите примеры самостоятельно, в случае затруднения обратитесь к преподавателю:

Найти неопределенный интеграл.
а)

б)

в)

г)

Решение:

а)

б)

в)

В данном примере мы использовали формулу сокращенного умножения 

г)

Домашнее задание: Найти неопределенный интеграл.

; ;

Липецкий политехнический техникум

Клещина Н.В.