Урок математики на тему "Решение неравенств методом интервалов. Метод интервалов при решении неравенств с кратными корнями" (2-й урок)

Цели:

Деятельностная цель:

формирование умений применением метода интервалов при решении простейших неравенств с кратными корнями.

Содержательная цель:

расширение знаний учащихся по теме «Решение неравенств с одной переменной».

Содержание урока.

1. Организационный момент. Проверка домашнего задания.

2. Актуализация знаний.

Остальные учащиеся: повторяем алгоритм решения неравенств методом интервалов.

Решить неравенство (с проведением сравнительного анализа решения):

а) (x + 5) (x + 4) (x – 5) < 0.

б) (x – 5) (x + 4) (x + 5)² ≤ 0.

(x – 5) (x + 4) (x + 5)² ≤ 0 <=> (x – 5) (x+4) ≤ 0, x = – 5;

Ответ. х € { – 5} U [– 4; 5]

Прежде всего, отметим, что если в разложении многочлена на множители входит сомножитель (x - x₀)^k, то говорят, что x₀ - корень многочлена кратности k.

Значит, корень х = – 5 кратности 2.

Вопросы: Что вы заметили при решении данных неравенств? (не чередуются знаки на интервалах в неравенстве б)

Эта ситуация осложняет решение неравенств? (да, теперь знаки функции необходимо проверять на каждом интервале!)

А может, есть способ, все- таки не менять привычный алгоритм решения? (возможно есть)

Сформулируйте тему нашего урока:

Метод интервалов при решении неравенств с кратными корнями.

Какие цели?

Научиться применять метод интервалов при решении неравенств с кратными корнями.

3. Проблемное объяснение нового знания.

Итак, причина затруднения применения метода интервалов: не чередуются знаки на интервалах, что приводит к необходимости проверки знаков функции на каждом интервале.

Решим неравенство: (x – 5) (x + 4) (x + 5)² ≤ 0 другим способом: 

(x – 5) (x + 4) (x + 5) (x + 5) ≤ 0

Введем функцию f(x) = (x – 5) (x + 4) (x + 5)²; Д(f) =R.

Найдем нули функции f(x) = (x – 5) (x + 4) (x + 5)², решив уравнение (х–5) (х+4) (х+5)² = 0.

x = 5; x = – 4; x = –5 и x = – 5.

– 5 – корень кратности 2 (две слившиеся точки), между ними интервал с началом и концом в точке –5. Давайте введем интервал с началом и концом в точке – 5.

Нули функции разбивают область определения на интервалы, в каждом из которых функция непрерывна и сохраняет свой знак.

Определим знак функции f (x) = (x – 5) (x + 4) (x + 5)² при x = 0, f (0) = (0 - 5) (0 + 4) (0 + 5)² < 0.

Чередуя, расставим знаки в каждом интервале, учитывая «лепесток», т. е. интервал с началом и концом в точке-5, и по рисунку запишем решение исходного неравенства.

Ответ: {– 5} U [– 4; 5]

Надо менять алгоритм решения неравенств методом интервалов? Определять знаки функции на каждом интервале? Как поступать с кратными корнями?

Весь материал - в документе.