Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла

Головатова Вера Анатольевна, преподаватель математики

СПб ГБ ПОУ «Охтинский колледж», Красногвардейский район, г. Санкт-Петербург

Методическая разработка по тригонометрии по теме:

«Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла»

Цель: изучить зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.

Для достижения поставленной цели необходимо:

1. Знать:

1. формулировки определений основных тригонометрических функций (синуса, косинуса и тангенса);

2. знаки тригонометрических функций по четвертям;

3. множество значений тригонометрических функций;

4. основные формулы тригонометрии.

1. Понимать:

1. что пользоваться основным тригонометрическим тождеством можно только для одного и того же аргумента;

2. алгоритм вычисления одной тригонометрической функции через другую.

1. Применить:

1. умение правильно выбрать нужную формулу для решения конкретного задания;

2. умение работать с простыми дробями;

3. умение выполнять преобразование тригонометрических выражений.

1. Анализ:

1. анализировать ошибки в логике рассуждения.

1. Синтез:

1. предложить свой способ решения примеров;

2. составить кроссворд, используя полученные знания.

1. Оценка:

1. знаний и умений по данной теме для использования в других разделах алгебры.

Оборудование: макет тригонометрической окружности, раздаточный справочный материал с формулами и таблицами значений тригонометрических функций, компьютер, мультимедийный проектор, презентация, листы с заданиями для самостоятельной работы.

Используемые источники:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А.Алимов, Ю.В. Сидоров и др. Просвещение, 2006.

2. Задания Открытого банка для подготовки к ЕГЭ по математике, 2012 г.

3. Ресурсы сети ИНТЕРНЕТ.

Краткий план урока:

1. Организационный момент.

Приветствие. Сообщение цели урока и плана работы на уроке – 3-5 мин.

1. Актуализация знаний и умений.

Учащимся раздаются карты урока и даются пояснения как с ними работать.

На экран выводятся вопросы; учащиеся записывают ответы в тетрадь; преподаватель выводит на экран правильный ответ. После окончания опроса учащиеся выставляют баллы в карту урока для Задания № 1 – 10 мин.

1. Объяснение нового материала.

1. Преподаватель выводит формулу для основного тригонометрического тождества – 5 мин.

2. Учащимся предлагается самостоятельно завершить запись примеров, выведенных на экран, проверить правильность ответов и выставить баллы в карту урока для Задания № 2 – 5 мин.

3. Учащимся в тетради предлагается самостоятельно выразить из основного тригонометрического тождества синус через косинус и косинус через синус. На экран выводится правильный ответ, учащиеся проверяют и выставляют баллы в карту урока для Задания №3 – 5-7 мин.

4. Преподаватель на доске решает примеры на применение основного тригонометрического тождества. Учащиеся отвечают на вопросы преподавателя по ходу объяснения и записывают примеры себе в тетрадь – 15 мин.

5. Преподаватель выводит формулы, показывающие зависимость между тангенсом и котангенсом, учащиеся принимают активное участие в выводе формул, отвечают на вопросы и делают записи в тетрадь – 5 мин.

6. Преподаватель выводит формулы, показывающие зависимость между тангенсом и косинусом, между синусом и котангенсом – 5 мин.

7. К доске вызываются учащиеся по желанию и с помощью преподавателя по алгоритму выполняют решение примеров. Все остальные записывают и по мере необходимости отвечают на вопросы – 10 мин.

1. Закрепление изученного материала

На экран выводятся рубрики самооценки. Каждому выдается лист с заданиями. Учащиеся самостоятельно решают задания на применение выведенных формул. Номер варианта соответствует рубрикам самооценки.

В конце урока на экран выводятся правильные ответы, учащиеся проверяют свои ответы и выставляют баллы в карту урока для Задания № 4 – 20 мин.

1. Домашнее задание: Учащиеся записывают в тетрадь задание на дом – 3 мин.

Тема: Тригонометрические формулы (25 часов)

Урок 6 – 7: Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.

Цель: изучить зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.

Для достижения поставленной цели необходимо:

1. Знать:

1. формулировки определений основных тригонометрических функций (синуса, косинуса и тангенса);

2. знаки тригонометрических функций по четвертям;

3. множество значений тригонометрических функций;

4. основные формулы тригонометрии.

1. Понимать:

1. что пользоваться основным тригонометрическим тождеством можно только для одного и того же аргумента;

2. алгоритм вычисления одной тригонометрической функции через другую.

1. Применить:

1. умение правильно выбрать нужную формулу для решения конкретного задания;

2. умение работать с простыми дробями;

3. умение выполнять преобразование тригонометрических выражений.

1. Анализ:

1. анализировать ошибки в логике рассуждения.

1. Синтез:

1. предложить свой способ решения примеров;

2. составить кроссворд, используя полученные знания.

1. Оценка:

1. знаний и умений по данной теме для использования в других разделах алгебры.

Оборудование: макет тригонометрической окружности, раздаточный справочный материал с формулами и таблицами значений тригонометрических функций, компьютер, мультимедийный проектор, презентация, листы с заданиями для самостоятельной работы.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Приветствие. Сообщение цели урока и плана работы на уроке.

1. Актуализация знаний и умений.

Учащимся раздаются карты урока (Приложение 1) и даются пояснения как с ними работать.

На экран выводятся вопросы (Приложение 3):

1. В какой четверти находится угол в 1 радиан и чему он примерно равен?

(В I четверти, 1 рад.57,3⁰).

1. Какое слово пропущено в определение функции синус?

Синусом угла  называется ............ точки единичной окружности. (Ордината)

1. Какое слово пропущено в определении функции косинус?

Косинусом угла  называется............ точки единичной окружности (Абсцисса).

1. Допишите формулу:

2. Определите знак произведения: ( )

1. Какие значения может принимать синус?

1. Вычислите:

( )

1. Объяснение нового материала.

И зобразим единичную окружность с центром в точке О. Пусть при повороте радиуса ОА, равного R, на угол  получен радиус ОВ (рис. 5). Тогда по определению где – абсцисса точки В, – ее ордината.

Отсюда следует, что

Точка В принадлежит окружности. Поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению

Воспользовавшись тем, что получим

(1). Мы получили равенство справедливое при любых значениях входящих в него букв. Как называются такие равенства? Правильно – тождества. Равенство (1) называется основным тригонометрическим тождеством.

В равенстве (1)  может принимать любые значения. Самостоятельно завершите запись:

Проверьте правильность вашей записи. Выставите себе баллы в карту урока для Задания № 2.

Продолжаем. Мы вывели основное тригонометрическое тождество, а для чего оно нам нужно?

Правильно – для нахождения по одному известному нам значению синуса значение косинуса и наоборот. Вот теперь мы с вами всегда сможем пользоваться основным тригонометрическим тождеством, но главное – для одного и того же аргумента.

Учащимся в тетради предлагается самостоятельно выразить из основного тригонометрического тождества синус через косинус и косинус через синус.

Для проверки к доске вызываются два ученика. Одному предлагается выразить синус через косинус, второму – косинус через синус.

На экран выводится верный ответ:

Учащиеся проверяют свои ответы и выставляют баллы в карту урока для Задания № 3.

В этих формулах от чего зависит знак перед корнем? (От того, в какой четверти расположен угол тригонометрической функции, которую мы определяем).

Пример 1. Вычислить если

Определим четверть, в которой находится угол . Четверть – III.

Вспомним, что синус в третьей четверти отрицательный, т. е. в формуле (2) перед корнем нужно поставить знак « – »:

Пример 2. Вычислить если

Определяем четверть, в которой находится угол . Четверть – IV, косинус в четвертой четверти положителен. Поэтому в формуле (3) перед корнем нужен знак « + »:

Выясним теперь зависимость между тангенсом и котангенсом. По определению тангенса и котангенса

Перемножая эти равенства, получаем:

Из равенства (4) можно выразить через и наоборот:

Равенства (4) – (6) верны при всех значениях, при которых имеют смысл, т. е. при

Выведем теперь формулы, выражающие соотношения между тангенсом и косинусом, а также котангенсом и синусом одного и того же аргумента.

Разделив обе части равенства (1) на , получим:

т.е.

Если обе части равенства (1) разделить на , то будем иметь:

т.е.

Рассмотрим примеры использования выведенных формул для нахождения значений тригонометрических функций по известному значению одной из них.

Пример 1. Найдем если известно, что

Решение:

• Найдем сначала Для этого воспользуемся формулой (3). Так как  является углом 2 четверти, то его косинус отрицателен. Значит,

• Зная синус и косинус можно найти его тангенс:

• Для отыскания котангенса угла  удобно воспользоваться формулой (6):

Ответ:

Пример2. Известно, что . Найдем все остальные тригонометрические функции.

Решение:

• Воспользуемся формулой (7). Имеем:

, . По условию задачи угол  является углом 1 четверти, поэтому его косинус положителен. Значит

• Зная , можно найти . Из формулы получим:

• По известному легко найти :

Ответ:

Установленные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента позволяют упрощать тригонометрические выражения.

Пример 3. Упростим выражение:

Решение: Воспользуемся формулами: . Получим:

1. Закрепление.

А сейчас на экране представлены рубрики самооценки по данной теме. Отметьте, на какой уровень вы бы хотели сегодня выйти.

1. Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, но с помощью наводящих вопросов (карточка – инструкция).

2. Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, используя указания преподавателя.

3. + Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, без наводящих вопросов и указаний.

4. + Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, не заглядывая в тетрадь.

Какой бы уровень вы не выбрали, сначала внимательно просмотрите все задания, которые я вам раздала, а затем выполните задание, соответствующее выбранному вами уровню (перед вами лежат задания четырех вариантов, номер варианта соответствует уровням самооценки.)

1 вариант

1. Дано: Найдите

Инструкция:

• определите четверть, в которой находится угол . Если возникают затруднения, то можно посмотреть в справочнике;

• определите знак функции синус в этой четверти. Проверьте себя, посмотрев в справочник;

• напишите формулу (2) из сегодняшнего урока, указав перед корнем знак, который выбрали ранее;

• в написанное выражение подставьте значение косинуса, вспомните, как дробь возводится в квадрат (нужно возвести в квадрат числитель и знаменатель дроби);

• выполните вычисления под корнем, извлеките корень (нужно извлечь корень из числителя и знаменателя);

• вспомните определение функции тангенс, (можно посмотреть в справочник), запишите формулу;

• правильно выполните деление дробей: при деление дроби на дробь, вторую дробь нужно перевернуть и дальше числитель первой дроби умножить на числитель получившейся дроби, тоже нужно сделать и со знаменателями: ;

• функцию котангенс можно найти по формуле (6) из сегодняшнего урока;

• запишите ответ.

1. Упростите выражение:

Инструкция:

1. замените единицу равным ей выражением Только не забудьте, что в примере перед единицей стоит знак минус, значит у всех слагаемых изменится знак;

2. приведите подобные;

3. запишите ответ.

2 вариант

1. Дано: Найдите

Указание: Для определения функции косинус воспользуйтесь формулой (3) из сегодняшнего урока. Не забудьте определить знак, который будет стоять перед корнем. Для вычисления значений тангенса и котангенса можно воспользоваться определением этих функций ил использовать формулы, которые мы вывели сегодня на уроке.

1. Упростите

Указание. Сгруппируйте первый и третий члены выражения, вынесите за скобку общий множитель….

3 вариант

1. Дано: Найдите

2. Упростите: .

4 вариант

1. Дано: Найдите

2. Упростите .

А теперь, ребята, давайте проверим ответы. На экран выводятся правильные ответы, и учащиеся проверяют свои работы и выставляют баллы в карту урока для Задания № 4.

По карте урока оцените себя. Подсчитайте свои баллы и выставите их в карту.

1. Домашнее задание.

   1. Записать все выведенные формулы в справочник.

   2. По учебнику №459 (3, 5), №460 (1)

Приложение 1.

КАРТА УРОКА «ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ СИНУСОМ, КОСИНУСОМ И ТАНГЕНСОМ ОДНОГО И ТОГО ЖЕ УГЛА»

Учащийся _______________________________________________________________________

Мои баллы: __________

Максимальное кол-во баллов – 22

18 – 22 балла — оценка «5»

15 – 17 баллов — оценка «4»

11 –14 баллов — оценка «3»

Менее 11 баллов — нужно прийти на консультацию в ближайшие дни, материал еще не усвоился.

Приложение 2.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

РУБРИКИ САМООЦЕНКИ:

1. Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, но с помощью наводящих вопросов (карточка – инструкция).

2. Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, используя указания преподавателя.

3. + Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, без наводящих вопросов и указаний.

4. + Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, не заглядывая в тетрадь.

Какой бы уровень вы не выбрали, сначала внимательно просмотрите все задания, которые я вам раздала, а затем выполните задание, соответствующее выбранному вами уровню (перед вами задания четырех вариантов, номер варианта соответствует уровням самооценки.)

1 вариант

1. Дано: Найдите

Инструкция:

• определите четверть, в которой находится угол . Если возникают затруднения, то можно посмотреть в справочнике;

• определите знак функции синус в этой четверти. Проверьте себя, посмотрев в справочник;

• напишите формулу (2) из сегодняшнего урока, указав перед корнем знак, который выбрали ранее;

• в написанное выражение подставьте значение косинуса, вспомните, как дробь возводится в квадрат (нужно возвести в квадрат числитель и знаменатель дроби);

• выполните вычисления под корнем, извлеките корень (нужно извлечь корень из числителя и знаменателя);

• вспомните определение функции тангенс, (можно посмотреть в справочник), запишите формулу;

• правильно выполните деление дробей: при делении дроби на дробь, вторую дробь нужно перевернуть и дальше числитель первой дроби умножить на числитель получившейся дроби, тоже нужно сделать и со знаменателями: ;

• функцию котангенс можно найти по формуле (6) из сегодняшнего урока;

• запишите ответ.

1. Упростите выражение:

Инструкция:

1. замените единицу равным ей выражением Только не забудьте, что в примере перед единицей стоит знак минус, значит у всех слагаемых изменится знак;

2. приведите подобные;

3. запишите ответ.

Решите самостоятельно этим способом пример:

2 вариант

1. Дано: Найдите

Указание: Для определения функции косинус воспользуйтесь формулой (3) из сегодняшнего урока. Не забудьте определить знак, который будет стоять перед корнем. Для вычисления значений тангенса и котангенса можно воспользоваться определением этих функций ил использовать формулы, которые мы вывели сегодня на уроке.

1. Упростите

Указание. Сгруппируйте первый и третий члены выражения, вынесите за скобку общий множитель….

3 вариант

1. Дано: Найдите

2. Упростите выражение: .

4 вариант

1. Дано: Найдите

2. Упростите выражение: .

Приложение 3.

12