Определение:
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.
q - знаменателем геометрической прогрессии.
Для задания геометрической прогрессии достаточно задать её первый член и значение знаменателя q.
Пример.
Найти пять первых членов геометрических прогрессий.
1.
Получим геометрическую прогрессию:
2.
Получим геометрическую прогрессию:
3.
Получим геометрическую прогрессию:
Каждый следующий член геометрической прогрессии получают из предыдущего умножением на q:
Получили формулу n - ого члена геометрической прогрессии.
Она позволит найти любой член геометрической прогрессии, зная её первый член и номер искомого члена.
Пример.
Найти 4 - ый, 7 - ой и n - ый члены геометрической прогрессии, если:
Найдём члены геометрической прогрессии:
Пример.
Найти 1 - й член геометрической прогрессии, если:
По формуле n - ого члена геометрической прогрессии запишем:
Решим уравнение:
Пример.
Найти знаменатель геометрической прогрессии q, если:
Запишем:
Подставим известные величины и найдём значение знаменателя геометрической прогрессии:
Пример.
Найти 3 - ий член геометрической прогрессии, если:
Нам не известны первый член и знаменатель геометрической прогрессии.
Но записав известные нам члены по формуле n - ого члена геометрической прогрессии, из полученных уравнений мы можем составить систему уравнений с двумя переменными:
Решим уравнение с одной переменной, получаем:
Найдём по формуле 3 - й член прогрессии:
Рассмотрим геометрическую прогрессию, состоящую из степеней числа 3.
Свойство геометрической прогрессии:
Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов.
Другими словами, любой член геометрической прогрессии равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов.
Например:
Признак:
Если в последовательности чисел, отличных от нуля, квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является геометрической прогрессией.
С теорией геометрической прогрессии связаны многие процессы на земле.
Пример.
На опытном участке леса ежегодный прирост древесины составляет 8 %. Какое количество древесины будет на этом участке через 6 лет, если первоначальное количество древесины равно 5000 метров кубических?
Составим математическую модель данной задачи:
Получили геометрическую прогрессию.
Запишем формулу n - ого члена геометрической прогрессии, и с её помощью найдём значение седьмого члена: