Симметрия помогает решать задачи

Вы уже знаете, что симметрия в переводе с греческого означает «одинаковость в расположении частей». В таком широком понимании симметрия не имеет математического содержания.

Математики же вкладывают в понятие симметрии точный математический смысл, рассматривают специальные виды симметрии. Таким образом, симметрия становится мощным средством математических исследований, помогает решать сложные задачи.

Для того чтобы освоить «метод симметрии», надо сначала познакомиться с основными свойствами симметрии.

Итак, первое свойство. Для любой точки плоскости всегда можно построить симметричную ей точку относительно некоторой прямой.

Второе свойство. На одном из предыдущих занятий мы строили с помощью угольника и линейки точку, симметричную данной точке относительно некоторой прямой, поэтому вы знаете, что отрезок, соединяющий симметричные точки, перпендикулярен оси симметрии и делится ею пополам.

Третье свойство. Если отрезки  и  симметричны относительно прямой l, то их длины равны.

Четвёртое свойство. Если точка  симметрична точке  относительно прямой l, то для любой точки  на этой прямой отрезки  и  равны.

Из этих свойств симметрии следует важное свойство плоскости. Если  – некоторая точка плоскости, а  – точка на прямой l, то длина отрезка  будет наименьшей, если отрезок  перпендикулярен прямой l.

Другими словами, кратчайшим путём от точки до прямой является путь по перпендикулярному к этой прямой направлению.

Давайте докажем это.

Пусть дана прямая l и точка А, которая не лежит на этой прямой. Возьмём на прямой l точку B так, чтобы отрезок АB был перпендикулярен прямой l.

Пусть точка  – любая другая точка на прямой l. Нам надо доказать, что отрезок  меньше отрезка .

Возьмём точку , симметричную точке А относительно прямой l. Тогда точка B будет лежать на отрезке . По второму свойству: . По четвёртому свойству: .

Отрезок  короче ломаной . Следовательно, отрезок АB меньше отрезка . Что и требовалось доказать.

Теперь начертим окружность с центром в точке А, проходящую через точку B. Получается, что АB – радиус этой окружности.

Эта окружность будет иметь с прямой l единственную общую точку – точку B. В этом случае говорят, что окружность касается прямой l или что прямая l является касательной к окружности.

Сформулируем важное свойство окружности и касательной к ней. Прямая, перпендикулярная радиусу окружности и проходящая через конец этого радиуса, касается окружности.

Сейчас мы с вами рассмотрим задачу, которая является классической задачей геометрии. Даны прямая l и две точки А и B по одну сторону от неё.

Найдите на прямой такую точку М, чтобы путь из точки А в точку B через точку М был кратчайшим, то есть длина ломаной АМB была наименьшей.

Данная задача решалась бы совсем легко, если бы точки А и B лежали по разные стороны от прямой l. Мы бы просто соединили эти точки отрезком и на пересечении с прямой l получили бы точку М.

Зная это, построим точку  симметричную точке А относительно прямой l. Затем соединим точку  и точку B.

Обозначим точку пересечения отрезка  с прямой l точкой М. Для точки , симметричной точке А относительно прямой l, длина отрезка  равна длине отрезка . Значит, . Тогда точка М и будет нужной нам точкой.

Давайте выполним задание. Начертите прямоугольный треугольник , в котором угол  прямой, а стороны  и  равны соответственно 3 см и 2 см. Постройте треугольник, симметричный данному относительно: а) прямой ; б) прямой ; в) прямой . Какой фигурой в каждом случае является объединение данного треугольника и построенного?

Решение.