Материал по математике "Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения"

Продолжим изучение формул тригонометрии, но сначала обсудим один вопрос, который наверняка вы уже задавали своему учителю: формул тригонометрии очень много, неужели все эти формулы мы должны помнить, как таблицу умножения?

Отвечаем: запоминать все формулы вы не должны! Но для чего, спросите вы, в предыдущих параграфах эти формулы выводились и как-то выделялись в тексте?

Отвечаем и на этот вопрос: вы должны, во-первых, иметь представление о том, что такие-то и такие-то тригонометрические формулы существуют, и, во-вторых, научиться применять их на практике.

Главное — выписать нужные формулы, удачно их расположить и держать перед глазами, когда решаете тригонометрический пример.

В конце главы 3 мы составим такую «шпаргалку».

В этом параграфе речь пойдет о формулах, особенно полезных при решении тригонометрических уравнений, поскольку они позволяют сумму или разность синусов или косинусов разложить на множители. 

Рассмотрим выражение sin(s+t)+sin(s−t).

Применив формулы синуса суммы и синуса разности, получим:

(sins⋅cost+coss⋅sint)+(sins⋅cost−coss⋅sint)=2sins⋅cost.

Итак, sin(s+t)+sin(s−t)=2sins⋅cost.

Положим в этой формуле х = s+t, у = s-t. Если эти равенства сложить, получим

х+у=2s, т.е. s=x+y/2.

Если же из первого равенства вычесть второе, получим

х-у=2t, т.е. t=x-y/2.

А теперь заменим в формуле

s+t на x, s-t на у, s на х+у/2, t на х-у/2.

Весь материал - в документе.

Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения

Продолжим изучение формул тригонометрии, но сначала обсудим один вопрос, который наверняка вы уже задавали своему учителю: формул тригонометрии очень много, неужели все эти формулы мы должны помнить, как таблицу умножения? Отвечаем: запоминать все формулы вы не должны! Но для чего, спросите вы, в предыдущих параграфах эти формулы выводились и как-то выделялись в тексте? Отвечаем и на этот вопрос: вы должны, во-первых, иметь представление о том, что такие-то и такие-то тригонометрические формулы существуют, и, во-вторых, научиться применять их на практике. Главное — выписать нужные формулы, удачно их расположить и держать перед глазами, когда решаете тригонометрический пример. В конце главы 3 мы составим такую «шпаргалку».

В этом параграфе речь пойдет о формулах, особенно полезных при решении тригонометрических уравнений, поскольку они позволяют сумму или разность синусов или косинусов разложить на множители.

1. Сумма синусов

Рассмотрим выражение Применив формулы синуса суммы и синуса разности, получим:

Положим в этой формуле х = s+t, у = s-t. Если эти равенства сложить, получим Если же из первого равенства вычесть второе, получим А теперь заменим в формуле

  Тогда форму ла  примет вид

2. Разность синусов
Воспользовавшись тем, что  и полученной в п. 1 формулой суммы синусов, находим, что

3. Сумма косинусов
Рассмотрим выражение соs (s+t)+соs (s-t). Применив формулы косинуса суммы и косинуса разности, получим:

Итак, соз (s +t)+соз (s-t) = 2соз s соз t. Положив х = s + t, у = s-t, получим:

4. Разность косинусов

Рассмотрим выражение Применив формулы косинуса суммы и косинуса разности, получим:

Пример 1. Решить уравнения:
Решение: а) Преобразовав сумму синусов в произведение по формуле (1), получим:

Теперь заданное уравнение можно переписать в виде:

б) Имеем последовательно:

Из первого уравнения находим:
Из второго уравнения находим:
в) Здесь придется воспользоваться формулой приведения:

чтобы вместо разности синуса и косинуса получить разность косинусов, для которой у нас имеется формула (4). Тогда получим последовательно: