Применение правила Лопиталя

Раскрытие неопределённостей

Умаров Хабибулло Рахматуллаевич

Хайитбаева Диёра Икромовна

Гулистанский государственный университет

Аннотация: В данной статье изучаются основные виды неопределенностей, возникающих при нахождении пределов. Приведены некоторые методы раскрытия неопределённостей.

Ключевые слова: Ряд Тейлора, предельная точка, правила Лопиталя, логарифм, экспонент.

ВВЕДЕНИЕ

Раскрытие неопределённостей – методы вычисления пределов функции, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа: (∞-∞), (∞/∞), (0/0), (0·∞), (0⁰), (1^∞), (∞⁰). Здесь 0 – бесконечно малая величина, а ∞ - бесконечно большая величина.

Раскрыть неопределённости позволяет:

1. Упрощение вида функции (преобразование с использованием формул сокращенного умножения, тригонометрических формул и т.д.).

2. Использование замечательных пределов.

3. Применение правила Лопиталя.

4. Использование замены бесконечно малого выражения ему эквивалентным.

Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел. Способ такого рода неопределённостей был опубликован в учебнике «Analyse des Infiniment Petits» 1696 года за авторством Гийома Лопиталя. Метод был сообщён Лопиталю в письме его первооткрывателем Иоганном Бернулли. К тому же напрямую оно применимо только ко второму и третьему из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношением, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих. Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки.

РЕЗУЛЬТАТЫ

Первое правило Лопиталя (неопределённость вида 0/0 при х→a-). Теорема 1. Пусть:

1) f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некотором интервале (а-b_1, а), b₁0;

2) =0;

3) f ꞌ(x), g ꞌ(x) ≠0 при всех х принадлежащих (а-b₂, а) при некотором b₂0;

4) существует конечный или бесконечный предел при х→а отношения .

Тогда существует предел отношения и имеет место равенство

= .

Доказательство. Можно считать , что предел при х→а- является конечным числом и равен l, поскольку если это не так, то можно рассмотреть отношение .

Доопределим f(x) и g(x) в точке х=а, пологая f(a)=g(a)=0. Тогда функции f(x) и g(x) непрерывны в точке а слева. Поскольку →l при х→а-, для ε 0 существует b₃=b₃(ε)0 такое, что при всех х принадлежащих I(b₃)=(a-b₃,a) имеем │ │min(b₁ ,b₂ ,b₃). Тогда для каждого х принадлежит (а-b, b), используя теорему Коши, получим

│ │=│ │=│ │ =l что и требовалось доказать.

Второе правило Лопиталя (неопределённость вида ∞/∞ при х→а). Теорема 2. Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в промежутке (а,b); gꞌ(x)≠0 для всех х принадлежащих (а, b); f(x)→∞ и g(x)→∞ при х→а; существует конечный или бесконечный предел , .

Доказательство. Функции и являются бесконечно малыми при х→а. Тогда по теореме 1 = = = = .

Следовательно, = = .

Для раскрытия неопределённостей (0⁰), (1^∞), (∞⁰) пользуемся следующим приёмом: находим предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берём экспоненту.

(0⁰) = (e^0ln0) = (e^0(-∞)); (1^∞) = (e^∞ln1) = (e^∞0); (∞⁰) = (e^0ln∞) = (e^0∞)

Пример 1. Возможно ли применение правила Лопиталя к пределу

Функции f(x) = и g(x) =sinx, x определены и епрерывны в окрестности точки x = 0 (исключая точку x = 0); их производные

f ꞌ(x)=2xsin и g ꞌ(x)=cosx

одновременно существуют при x выражение

-2xsin при x≠0 и

Поскольку = 0, a не существует, то предел (1) также не существует. Следовательно, применение правила Лопиталя в данном примере невозможно. Отметим, что · = 0.

Пример 2. Найти предел w =

Неопределённость приводим к виду , получаем

и применяем правило Лопиталя имеем

Таким образом, w = .

Пример 3. Найти предел

Функция f(x) = и g(x) = 1-х, x0, x≠1 удовлетворяют следующим условиям:

1) = 0

2) их производные f (x) = (1+ + lnx) + -1, gꞌ(x) = -1

существуют при x 0.

3) существует = -2

4) (fꞌ(x))² + (gꞌ(x))² ≠0 при x0.

Следовательно, применимо первое правило Лопиталя, согласно которому имеем = = -2.

Пример 4. Найти предел .

Функция f(x) = g(x) = lnx-x+1, x0, x≠1 удовлетворяют следующим условиям:

1) = 0

2)производные f (x) = (lnx+1) -1, gꞌ(x) = -1 существует в достаточно малой окрестности точки х=1.

3) (fꞌ(x))² + (gꞌ(x))² ≠0, х≠1 в указанной окрестности.

4) согласно предыдущему примеру существует конечный предел.

= = -2.

Следовательно, применимо первое правило Лопиталя, и имеем

= = -2.

Пример 5.Найти предел матричной функции

А(х) =

Поскольку A(x), то вычисляем предел данной матрицы поэлементно. Имеем

, где z = . Применяем правило Лопиталя

z = = = = -

Аналогично получаем для всех других элементов:

, z = = = = - .

, z = = = = - . (Здесь введено обозначение u(x) = Arshx) , z = = = = .

Итак, окончательно имеем .

Пример 6. Найти z = .

Данные определители как функции переменной х удовлетворяют всем условиям правила Лопиталя в некоторой окрестности точки х=0. Поэтому, применяя правило, получаем

z = = = 1.

Пример 7. Найти асимптоту кривой y = , x

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y = kx+b. Использовав уравнение кривой, находим k и b:

k = = = ,

b = = = = =

= - = - = .

Таким образом, получаем уравнение асимптоты y = + .

Пример 8. Исследовать на дифференцируемость в точке в точке х=0 функцию f(x) =

Исследовать на дифференцируемость функции в точке х=0 означает установить существование конечного предела f ꞌ(0) . (1).

Предел (1) будем искать по правилу Лопиталя, для чего мы должны убедиться, что числитель в (1) стремится к нулю при x→0. Проверка с применением правила Лопиталя показывает, что

= = = = 0.

Итак, в формуле (1) имеем неопределённость вида . Применяем к (1) правило Лопиталя трижды, получаем

= = = - . f ꞌ(0) = - .

Пример 9. w = .

Для нахождения предела вектор – функции вычисляем пределы каждой из её компонент. Поскольку компоненты представляют собой степенно – показательные выражения, то применяем представление и, приведя соответствующие неопределённости к виду пользуемся правилом Лопиталя. Имеем

= = = =1 ,

= = , z = = -

= , z = = = - 2

Следовательно, w = .

Пример 10. w =

Поскольку для вектор – функции

w = ,

то находим пределы каждой из компонент в отдельности. Имеем

= = 50ǃ = 0.

(здесь второе правило Лопиталя применено 50 раз).

Для второй компоненты предварительно применяем представление = u и проводим некоторое преобразование с тем, чтобы можно было воспользоваться правилом Лопиталя:

=

(Здесь мы воспользовались непрерывностью функции x и теоремой о пределе произведения ). Для нахождения a = применяем второе, а для нахождения b = первое правило Лопиталя. Имеем

= = = 0.

= = 1.

Поэтому окончательно w = .

Заключение

Правило Лопиталя часто (хотя не всегда) позволяет раскрывать неопределённости вида 0/0 или ∞/∞ без особых раздумий – если после первого дифференцирования снова получили неопределённость, не беда – можно продифференцировать ещё раз, и так пока не получим какой-нибудь конкретный предел.

Использованная литература

1. Архипов Г.И, Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу, Москва, 1999;

2. Матвеева Т.А., Рыжкова Н.Г., Математический анализ, Екатеринбург, 2017.

3. Демидович Б.П., Кудряцев В.А., Краткий курс высшей математики, Москва 1975.

4. Темиргалиев Н., Введение в математический анализ, Астана, 2015.

5. Самочернова Л.И., Высшая математика, Томск, 2005.